Задача 38279 y''+4y' = x^2...
Условие
Решение
y``-4y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k=0
k*(k-4)=0
k_(1)=0; k_(2)=4
Корни действительные различные
y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
[b] y=C_(1)e^(0x)+C_(2)*e^(4x)[/b] - общее решение однородного.
уравнения
или
[b] y=C_(1)+C_(2)*e^(4x)[/b] , так как e^(0x)=1
[b]f(x)=x^2[/b]
Так как x=0 - корень характеристического уравнения, то
y_(частное неоднородного)=х*(Аx^2+Bx+C)
y_(частное неоднородного)=Аx^3+Bx^2+Cx
y`_(ч.н)=3Ах^2+2Вx+C
y``_(ч.н)=6Ax+2B
Подставляем в уравнение
y``-4y`=x^2
6Ax+2B-4*(3Ах^2+2Вx+C)=x^2
-12Ax^2+(6A-8B)x+2B-4C=x^2
Равенство двух многочленов:
-12А=1
6А-8В=0⇒ 8B=6A; 8B=-6/12; 8B=-1/2
2В-4С=0⇒ 4C=2B; 4C=-1/8; C=-1/32
А=-1/12
В=-1/16
С=-1/32
[b]y_(частное неоднородного)=(-1/12)x^3-(1/16)x^2-(1/32)х[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)
y= [b]C_(1)+C_(2)*e^(4x) - (1/12)x^3-(1/16)x^2-(1/32)х[/b]