Задача 37710 Вычислить объем тела,ограниченного...

olesiapushtaeva

2019-05-28 20:13:41

Вычислить объем тела,ограниченного параболоидом z=(x^2/4)+(y^2/2) и плоскостью z=1

sova

2019-05-28 20:53:31

★

(x^2/4)+(y^2/2)=1 - уравнение кривой, ограничивающей область D на плоскости

V= ∫ ∫_(D) [b]([/b]1- ((x2/4)+(y2/2)) [b])[/b] dx dy

Вводим обобщенные полярные координаты

x=2 ρ cos θ
y=sqrt(2) ρ sin θ

0 ≤ ρ ≤ 1

dxdy= [b]2*sqrt(2)*[/b] ρ*d ρ d θ


V= ∫ ∫_(D)dxdy- [b]2*sqrt(2)[/b] ∫ ^(1)_(0)d ρ ∫ ^(2π)_(0) ρ ^2* ρd θ


= S_ (D)- [b]2*sqrt(2)[/b]∫ ^(1)_(0)ρ ^3*(θ)|^(2π)_(0)dρ=

= 2sqrt(2)*π-[b]2*sqrt(2)[/b]*(2π-0)*(ρ ^4/4)|^(1)_(0)= 2sqrt(2)*π- sqrt(2)*π=

=[b]πsqrt(2)[/b]