Задача 37245 Найти наибольшее и наименьшее значение...

vk502898628

2019-05-19 09:50:41

Найти наибольшее и наименьшее значение данных функций z = f(x;y) в данных замкнутых областях D:
z = x^2+y^2, D: ромб 3|x|+4|y|<=12

sova

2019-05-19 10:01:48

★

z`_(x)=2x
z`_(y)=2y


{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x=0
{2y=0

x=0; y=0 - стационарная точка, принадлежит области

z``_(xx)=2
z``_(yy)=2
z`_(xy)=0

A=z``_(xx)(0;0)=2
B=z``_(yy)(0;0)=2
C=z``_(xy)(0;0)=0

Δ=AB-C^2=2*2-0=4 >0

(0;0) - является точкой минимума, так как Δ > 0; A=2 > 0

На границе.

В силу симметрии области и поверхности,

исследуем на границе 3x+4y=12

y=(12-3x)/4

Подставляем в данное выражение поверхности

z=x^2+((12-3x)/4)^2 - получаем функцию одной переменной.

Исследуем на экстремум на [0;4]

z=(25/16)x^2-(9/2)x+9

z`=(25/8)x-(9/2)

z`=0

(25/8)x-(9/2)=0

x=36/25

36/25 ∈ [0;4]

и является точкой минимума, производная меняет знак с - на +

z(36/25) > 0

значит

z(0;0)=0 - [b]наименьшее значение[/b]

Находим значения на концах

при х=0; y=3

z=9

при х=4; y=0

z=16- [b]наибольшее[/b]

Аналогично при х=-4; y=0
z=16 - [b]наибольшее[/b]