Задача 35278 ...
Условие
log(4-x) ((x-4)^8) / (x+5) ≥ 8
Решение
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1⇒x ≠ 3
{(x-4)^(8)/(x+5) >0 ⇒ x+5>0 ⇒ x > -5
ОДЗ: (-5;3)U(3;4)
log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8
log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8* log_(4-x)(4-x)
[b]log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ log_(4-x)(4-x)^8[/b]
Первый случай
[b] Если 4-х >1[/b], логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x-4)^8/(x+5) ≥ (4-x)^8
(x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8 ≥ 0
Так как (x-4)^8=(4-x)^2 >0 при любом х ≠ 4
то
(x-4)^8*(1/(x+5) - 1) ≥ 0
(1-x-5)/(x+5) ≥ 0
(x+4)/(x+5) ≤ 0
-5 < x ≤ -4
C учетом 4-х >1, т. е x < 3
о т в е т. (1) [b] (-5 ;-4][/b]
Второй случай
Если [b]0 < 4-х <1[/b], логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(x-4)^8/(x+5) ≤ (4-x)^8
(x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8 ≤ 0
(x+4)/(x+5)≥ 0
x < - 5 или x ≥ -4
c учетом [b]0 < 4-х <1[/b] ⇒ 3 < x < 4
получаем о т в е т (2) [b](3;4)[/b]
C учетом ОДЗ
О т в е т. [b] (-5;-4] U (3;4)[/b]
Решение методом рационализации логарифмических неравенств
сокращает решение в два раза.
ОДЗ:
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1⇒x ≠ 3
{(x-4)^(8)/(x+5) >0 ⇒ x+5>0 ⇒ x > -5
ОДЗ: (-5;3)U(3;4)
log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8
log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8* log_(4-x)(4-x)
[b]log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ log_(4-x)(4-x)^8[/b]
Применяем метод рационализации и получаем неравенство:
(4-x-1)* ((x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8) ≥ 0
(x-4)^8*(3-x)*(1-x-5)/(x+5) ≥ 0
(х-3)*(х+4)/(х+5) ≥ 0
__-_ (-5) _+__[-4] ____-___ [3] __+__
(-5;-4] U [3;+ ∞ )
С учетом ОДЗ:
о т в е т. [b] (-5;-4] U (3; 4)[/b]
Все решения
