Задача 34208 ...

vk306899767

2019-03-05 18:31:55

Логарифмические неравенства

log(2,5) (2x) > 2

log(0,1)(x^2-x-2) ≥ log(0,1)(10-2x)

log^2_(0,5)(-x) + 0,5log(0,5)x^2 - 2 ≤ 0

sova

2019-03-05 19:13:44

★

Тема. [b]Логарифмические неравенства.[/b]

1)
[b]ОДЗ[/b]: 2x >0 ⇒ [b] x > 0[/b]

log_(2,5)(2x) > 2
log_(2,5)(2x) > 2*log_(2,5)2,5
log_(2,5)(2x) > log_(2,5)2,5^2

Логарифмическая функция основанием 2,5 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x < 2,5^2
2x>6,25
x>3,125
Найденные решения входят в ОДЗ
О т в е т. [b](3,125;+ ∞ ) [/b]

2)
ОДЗ:
{x^2-x-2>0 ⇒ D=9; корни -1 и 2; решение неравенства: x < -1 или x > 2
{10-2x > 0 ⇒ x < 5
ОДЗ: [b] (-∞ ;-1)U(2;5)[/b]

Логарифмическая функция основанием 0 < 0,1 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x^2-x-2 ≤ 10-2x;
x^2+x -12 ≤ 0
D=1+48=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; x_(2)=(-1+7)/2=3
-4 ≤ x ≤ 3

C учётом ОДЗ:
о т в е т. [b] [-4;-1) U (2;3][/b]

3)
ОДЗ:
- x >0 ⇒ [b] x < 0[/b]

По свойству логарифма степени:
log_(0,5)x^2=2lоg_(0,5)|x|=(согласно ОДЗ x < 0, |x|=-x)=2lоg_(0,5)(-x)

Квадратное неравенство относительно lоg_(0,5)(-x)

Замена переменной
lоg_(0,5)(-x)=t

t^2 + 0,5*2*t - 2 ≤ 0

t^2 + t - 2 ≤ 0

D=1-4*(-2)=9

корни
t_(1)=(-1-3)/2= - 2; t_(2)=(-1+3)/2= 1

Решение неравенства
-2 ≤ t ≤ -1

Обратный переход
-2 ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ -1

log_(0,5)0,5^(-2) ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ log_(0,5)0,5^(-1)

log_(0,5)4 ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ log_(0,5)2
Логарифмическая функция с основанием 0 < 0,5 <1
убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

4 ≥ (-x) ≥ 2
или в привычном виде:
2 ≤ (-x) ≤ 4
Умножаем на (-1)
-4 ≤ x ≤ -2
Найденные решения входят в ОДЗ
о т в е т. [b] [-4;-2][/b]