Задача 34203 ...

vk306899767

2019-03-05 17:12:02

Логарифмические неравенства

1) log2(x-4) < 2

2) log(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1

3) log(x^2-6x+8) (x-4) > 0

sova

2019-03-05 17:38:15

★

1)
ОДЗ:
x-4>0 ⇒ x > 4
log_(2)(x-4) < log_(2)4
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x-4 < 4
x<8
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0;8)

2)
ОДЗ:
x^2-2x-3>0
D=(-2)^2-4*(-3)=16
x_(1)=-1; x_(2)=3
ОДЗ: x < -1 или x > 3

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1 *log_(0,2)0,2

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ log_(0,2)0,2^(-1)

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ log_(0,2)5

Логарифмическая функция основанием 0< 0,2 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x^2-2x-3 ≤ 5

x^2-2x -8 ≤ 0

D=4 - 4 *(-8)=36

x_(1)=(2-6)/2=-2; x_(2)=(2+6)/2=4

Решение неравенства:
-2 ≤ x ≤ 4

С учетом ОДЗ получаем ответ

_____ [-2] \\\\ (-1) _________ (3) //// [4] ____

О т в е т. [-2;-1) U (3;4]

3)
ОДЗ:
{x - 4 > 0 ⇒ x > 4
{x^2-6x+8 > 0 ⇒ D=36-32=4; корни 2 и 4; x < 2 или x > 4
{x^2-6x+8 ≠ 1 ⇒ x^2-6x+7 ≠ 0; D=36-28=8 ⇒ x ≠ 3-sqrt(2); x ≠ 3+sqrt(2)

(- ∞ ;3-sqrt(2)) U(3-sqrt(2);2) U (4;3+sqrt(2)) U (3+sqrt(2);+ ∞ )

Так как 0=log_(x^2-6x+8)1, неравенство принимает вид:

log_(x^2-6x+8)(х-4) > log_(x^2-6x+8)1

Чтобы решить его, надо рассмотреть два случая:
1) основание x^2-6x+8 >1 и тогда логарифмическая функция возрастает
2) основание 0 < x^2-6x+8 <1 и тогда логарифмическая функция
убывает.

Системы очень похожи и решать две системы - терять время, поэтому лучше применить метод рационализации логарифмических неравенств:

(x^2-6x+8-1)*(x-4-1) >0

(x^2-6x+7)*(x-5) >0

Применяем метод интервалов:

__-__ (3-sqrt(2)) ____+___ (3+sqrt(2) _-__ (5) __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ
(3-sqrt(2);2) U (4;3+sqrt(2)) U (5;+ ∞ )