Задача 33896 Найти наибольшее и наименьшее значение...
Условие
Решение
z`_(y)=6y-2
Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0
{6x-2=0
{6y-2=0
x=1/3; y=1/3 - стационарная точка принадлежит области D
и является внутренней точкой области D.
z``_(xx)=6
z``_(xy)=0
z``_(yy)=6
A=6; B=6; C=0
Δ=AB-C^2>0
(1/3;1/3) - точка экстремума,
так как А=6>0, то точка минимума.
z(1/3;1/3)=3*(1/3)^2+3*(1/3)^2-2*(1/3)+2*(1/3)+2=8/3
Исследуем функцию на границе:
при[b] y = 1 - x [/b]
Подставляем в уравнение
z=3x^2+3*(1-x)^2-2x-2*(1-x)+2
z=3x^2+3-6x+3x^2-2x-2+2x+2
z=6x^2-6x+3
функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ x ≤ 1
z`=12x-6
z`=0
x=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
при х=1/2; y=1/2
z=6*(1/4)-3+3= [b]3/2[/b]
при х=0; y=1
[b]z=3[/b]
при
x=1;y=0
[b]z=3[/b]
при [b]x=0[/b]
z=3y^2-2y+2 – функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ y ≤ 1
z`=6y-2
z`=0
y=1/3 - точка
[b]z(0;1/3)= 5/3[/b]
При [b]y=0[/b]
z=3x^2-2x+2 - функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ x ≤ 1
z`=6x-2
z`=0
x=1/3 - точка минимума
[b]z(1/3;0)= 5/3[/b]
Выбираем наибольшее и наименьшее
z(0;1)=z(1;0)= [b]3[/b] - наибольшее значение функции
z=(1/2;1/2)= [b]3/2[/b] - наименьшее значение функции
