Задача 33750 Решить логарифмическое неравенство....
Условие
номер 10
Решение
{x>0
{x ≠ 1
{3x^(-3) >0 ⇒ 3/x^3 > 0 ⇒ x > 0
{3x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0 ⇒ х ≠ 0
{3x^3>0 ⇒ x>0
{3x^3 ≠ 1 ⇒ x^3 ≠ 1/3 ⇒ x ≠ ∛1/3
{3x^(-2)>0 ⇒ 3/x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
{3x^(-2) ≠ 1 ⇒ 3/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± sqrt(1/3)
∛(1/3) > sqrt(1/3) так как при возведении в 6-ю степень:
(1/3)^2 > (1/3)^3
ОДЗ:(0; sqrt(1/3)) U (sqrt(1/3);∛1/3) U(∛1/3;1) U (1;+ ∞ )
Переходим к основанию х
log_(x)3x^(-3)=log_(x)3+log_(x)x^(-3)=log_(x)3-3
log_(x)3x^(2)=log_(x)3+log_(x)x^(2)=log_(x)3+2
log_(3x^3)x=log_(x)x/log_(x)(3x^3)=1/(log_(3)x+3)
log_(3x^(-2))x=log_(x)x/log_(x)(3x^(-2))=1/(log_(3)x-2)
Неравенство принимает вид:
(log_(x)3-3)*(log_(x)3+3)*(log_(x)3-2)*(log_(x)3+2) < 84
(log^2_(x)3-9)*(log_(x)3-4) < 84
log^4_(x)3 -13log^2_(x)3 - 48 < 0
Биквадратное неравенство
D=169-4*(-48)=169+192=361
корни - 3 и 16
(log^2_(x)3+3)*(log^2_(x)3-16) < 0
log^2_(x)3 + 3 > 0 при любом х из ОДЗ
(log_(x)3-4)(log_(x)3+4) < 0
-4 < log_(x) 3 < 4 ⇒ log_(x)x^(-4) < log_(x)3 < log_(x) x^4
При [b]х ∈ (0;1)[/b] логарифмическая функция убывающая, поэтому
⇒ x^4 < 3 < x^(-4) ⇒ x < 3^(1/4) < x^(-1) ⇒
{x< 3^(1/4)
{ 3^(1/4)< x^(-1) ⇒ x > 3^(-1/4)
x ∈ (3^(-1/4);1)
При [b]x > 1[/b] логарифмическая функция возрастающая
⇒ x^(-4) < 3 < x^4 ⇒ x^(-1) < 3^(1/4) < x ⇒
{x> 3^(1/4)
{ x < 3^(-1/4)
x ∈ (3^(1/4);+ ∞ )
С учетом ОДЗ о т в е т.
((1/3)^(1/4);1) U (3^(1/4);+ ∞ )