Задача 32426 ...

federaldar

2018-12-25 15:31:18

Найти несобственный интеграл
нижний предел = 1
верхний предел = бесконечность
∫ ( dx / (x * (x - 1)^(1 / 3)))

sova

2018-12-25 20:26:47

замена переменной
∛(х-1) = t ⇒ x-1=t^3 ⇒ x=t^3+1; dx=3t^2dt

∫ ( dx / (x ·∛(х-1)) = ∫ 3tdt/(t^3+1)

t^3+1=(t+1)*(t^2-t+1)
Раскладываем дробь на простейшие



3t=A*(t^2-t+1)+(Mt+N)*(t+1)
3t=(A+M)t^2+(M+N-A)t+A+N

{A+M=0⇒ M=-A
{M+N-A=3
{A+N=0 ⇒ N=-A
-A-A-A=3
A=-1
M=1
N=1

∫ 3t/(t^3+1)= - ∫ dt/(t+1) + ∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)

∫ dt/(t+1)=ln|t+1|


∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)= ∫(t+1)dt /((t-1/2)^2+(3/4)) замена

t-1/2=u
t=u+(1/2)
dt=du

=∫(u+(3/2))du /(u^2+(3/4))=

=(1/2)ln|u^2+(3/4) +(3/2)*(1/sqrt(3/4))arctg u/sqrt(3/4)=

=(1/2)ln|t^2-t+1| +sqrt(3) arctg((t-1)/2)


Итак,
∫ ( dx / (x ·∛(х-1)) = ∫ 3tdt/(t^3+1)= - ∫ dt/(t+1) + ∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)=

= -ln|t+1| +(1/2)ln|t^2-t+1| +sqrt(3) arctg((t-1)/2) +С= обратная замена


= -ln|∛(х-1)+1| +(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1| +sqrt(3) arctg((∛(х-1)-1)/2)
+С=

Несобственный интеграл
∫^(+∞ )_(1) ( dx / (x ·∛(х-1)) =

=(-ln|∛(х-1)+1| +(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1| +sqrt(3) arctg((∛(х-1)-1)/2))|^(+∞ )_(1) =0+sqrt(3)* (π/2)-0 + sqrt(3)arctg (-1/2)

так как
(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|- ln|∛(х-1)+1|=

=(1/2)* (ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|- 2ln|∛(х-1)+1|) =

=(1/2) * ln (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2

При подстановке верхнего предела считаем
lim_(x→∞) ln (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2=

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

=ln lim_(x→∞) (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2=ln1=0

О т в е т. sqrt(3)* (π/2) + sqrt(3)arctg (-1/2)