Задача 30468 найти наибольший член разложения бинома...

vk503453138

2018-10-23 20:20:04

найти наибольший член разложения бинома ( sqrt(5)+2)^(13)

sova

2018-10-23 21:13:17

★

В разложении (13+1)=14 слагаемых

k-ый член бинома ( k+1-е слагаемое ) имеет вид

T_(k)=C^(k)_(13)*(sqrt(5))^(k)*(2^(13-k))

Согласно условия задачи T_(k) - наибольший член разложения.
Значит должны выполняться условия:
T_(k) > T_(k-1)
и
T_(k) > T_(k+1)

{C^(k)_(13)*(sqrt(5))^(k)*2^(13-k) >C^(k-1)_(13)*(sqrt(5))^(k-1)*2^(13-k+1)
{C^(k)_(13)*(sqrt(5))^(k)*2^(13-k)>C^(k+1)_(13)*(sqrt(5))^(k+1)*2^(13-k-1)

{1/k > 2/(sqrt(5)*(13-k+1) ⇒ k < 14sqrt(5)/(sqrt(5)+2)
{1/(13-k) > sqrt(5)/(2k+2)⇒ k> (13sqrt(5)-2)/(sqrt(5)+2)

(13sqrt(5)-2)/(sqrt(5)+2)< k < 14sqrt(5)/(sqrt(5)+2)

умножаем дроби слева и справа на (sqrt(5)-2) и числитель и знаменатель и получаем неравенство для k

69-28sqrt(5) < k < 70-28 sqrt(5);

k=7

О т в е т. C^(7)_(13)*(sqrt(5))^7*2^(6)=13278000*sqrt(5)