Задача 29530 Окружность радиуса 5 с центром О ,...

slava191

2018-09-09 12:09:44

Окружность радиуса 5 с центром О , лежащим на стороне АВ треугольника АВС, касается сторон АС и ВС . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС , если АО = 13 и ВО = 7. [9.32]

sova

2018-09-09 22:18:21

★

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОP=OT=OK=OM=5

АК=АО-ОК=13-5=8
ВМ=ВО-МО=7-5=2

По теореме Пифагора из треугольника APO
АP=sqrt(AO^2-OP^2)=sqrt(13^2-5^2)=sqrt(144)=12

Обозначим ∠ СAB=α
sinα = OP/AO = 5/13;
cosα = AP/AO = 12/13.

По теореме Пифагора из треугольника BTO
BT=sqrt(BO^2-OT^2)=sqrt(7^2-5^2)=sqrt(24)=2sqrt(6)
Обозначим ∠ СBA=β
sinβ = OT/OB = 2sqrt(6)/7;
cos β =BT/OB=5/7.

Так как AB=13+7=20
по теореме синусов

AB/sin ∠ ACB=2R

∠ ACB=180 градусов - α - β

sin∠ ACB=sin(180 градусов - α - β )=sin( α+ β)=

=sin α *cos β +cos α *sin β =

=(5/13)*(2sqrt(6)/7)+(12/13)*(5/7)=10(6+sqrt(6))/91

R=10*91/10*(6+sqrt(6))= 91/(6+sqrt(6))

О т в е т. 91/(6+sqrt(6))