Задача 29093 Объем тела,полученного вращением вокруг...

u1956620434

25.07.2018

Объем тела,полученного вращением вокруг оси Ох области,ограниченной графиками функций:
y=-x^2+1, y=0.

SOVA

25.07.2018

V_(тела вращ. вокруг оси Ох)=Pi∫^(b) _(a)f^2(x)dx.
Строим параболу f(x)=-x^2+1.
Абсциссы точек пересечения с осью ОХ
-1 и 1
a=-1; b=1
V=Pi ∫^(1) _(-1)(-x^2+1)^2dx=
[В силу симметрии тела вращения
можно применить свойства интеграла
∫^(1) _(-1) f^2(x)dx=2*∫^(1) _(0) f^2(x)dx]

=2*Pi*∫^(1) _(0)(x^4-2x^2+1)dx=

=2Pi*((x^5/5)-2*(x^3/3)+x)|^(1)_(0)=

=2Pi*((1/5)-(2/3)+1)=16Pi/15