Задача 29009 10. В ящик, содержащий 3 одинаковых...

slava191

18.07.2018

10. В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

SOVA

18.07.2018

★

Фраза "3 одинаковых детали" означает, что детали не отличаются друг от друга по размерам, как и четвертая добавленная.

По условию: "[red]все возможные предположения[/red] о числе стандартных деталей РАВНОВЕРОЯТНЫ"

В ящике может быть первоначально:
0 стандартных и 3 нестандартных
1 стандартная и 2 нестандартных
2 стандартных и 1 нестандартная
3 стандартных и 0 нестандартных

Вводим в рассмотрение гипотезы
Н_(i) -'' в ящике i стандартных деталей
i=0;1;2;3
p(H_(i))=1/4

Событие A - ''извлечена стандартная деталь''

Если ящике было [red]0[/red] стандартных и 3 нестандартных, добавлена 4-я, стандартная, то
p(A/H([red]0[/red]))=1/4
Если ящике было [green]1[/green] стандартная и 2 нестандартных, добавлена 4-я, стандартная, то
p(A/H([green]1[/green]))=2/4
Если ящике было [blue]2[/blue] стандартных и 1 нестандартная, добавлена 4-я, стандартная, то
p(A/H([blue]2[/blue]))=3/4
Если ящике было [b]3[/b] стандартных , добавлена 4-я, стандартная, то
p(A/H([b]3[/b]))=4/4=1

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(0))*p(A/H_(0)) +p(H_(1))*p(A/H_(1)) +
+ p(H_(2))*p(A/H_(2))+ p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/4)*(1/4)+(1/4)*(2/4)+(1/4)*(3/4)+(1/4)*1=

=(1/16)+(2/16)+(3/16)+(4/16)=

=10/16=5/8=0,625

О т в е т. 5/8=0,625


Р.S. Оба комментария на случай двух гипотез, что
в ящике может быть первоначально:

0 стандартных и 3 нестандартных

3 стандартных и 0 нестандартных

Вводим в рассмотрение гипотезы
Н_(i) -'' в ящике i стандартных деталей
i=0;3
p(H_(i))=1/2

Событие A - ''извлечена стандартная деталь''

p(A/H_(o))=1/4

p(A/H_(3))=4/4

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(0))*p(A/H_(0)) + p(H_(3))*p(A/H_(3))=(1/2)*(1/4)+(1/2)*1=(1/8)+(1/2)=5/8=0,625