Задача 28782 Все на картинке...
Условие
Все решения
sin(x-(Pi/2))= - sinx((Pi/2)-x)
По формулам приведения
sin((Pi/2)-x)=cosx
Уравнение примет вид:
4cos^3x-cosx=0
cosx*(4cos^2x-1)=0
cosx=0 или сosx=1/2 или cosx=-1/2
x=(Pi/2)+Pik или x= ± (Pi/3)+2Pin или х= ±(2Pi/3)+2Pim,
k, n, m ∈ Z
Указанному отрезку принадлежат корни
3Pi/2; (-2Pi/3)+2Pi=4Pi/3; (-Pi/3)+2Pi=5Pi/3
14.
Первое неравенство решаем методом замены переменной:
2^(x)=t
t > 0
2^(-x)=1/t
Первое неравенство принимает вид:
2t+(17/t) -35 меньше или равно 0
(2t^2-35t+17)/t меньше или равно 0
D=(-35)^2-4*2*17=1225-136=1089=33^2
t=(35-33)/4=1/2 или t=(33+35)/4=17
Так как t > 0, расставляем знаки неравенства на (0;+ бесконечность):
(0) __+__ [1/2] ___-___ [17] _+__
1/2 меньше или равно 2^(x) меньше или равно 17
(-1) меньше или равно 2^(x) меньше или равно log_(2)17
Второе неравенство.
ОДЗ:
{x > 0;
{2x≠1
ОДЗ: (0;0,5)U(0,5;+бесконечность)
Применяем свойства логарифмов:
log_(2)4x=log_(2)4+log_(2)x=2+log_(2)x
Применяем формулу перехода к другому основанию
и свойства логарифмов:
log_(2x)8=log_(2)8/log_(2)2x=3/(log_(2)2+log_(2)x)=3/(1+log_(2)x).
log_(2)4x=log_(2)4+log_(2)x=2+log_(2)x
Замена переменной
log_(2)x=u
Неравенство принимает вид:
3/(1+u) меньше или равно 2+u -3;
(4-u^2)/(u+1) меньше или равно 0;
(u-2)(u+2)/(u+1) больше или равно 0
Метод интервалов:
_-__ [-2] __+__ (-1) ____-_____ [2] __+___
-2 меньше или равно u < -1 или u больше или равно 2.
Обратная замена
-2 меньше или равно log_(2) x < -1 или log_(2)x больше или равно 2.
1/4 меньше или равно x < 1/2 или x больше или равно 4.
Пересечение решений первого и второго неравенств:
[1/4;1/2)U[4;log_(2)17]
О т в е т.[1/4;1/2)U[4;log_(2)17]