Задача 28236 В цилиндре образующая перпендикулярна...

slava191

01.06.2018

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B1 и C1, причём BB1 - образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB=8, BB1=6, B1C1=15

SOVA

03.06.2018

★

По условию AC1 пересекает ось ОО1 цилиндра.
Значит, прямые лежат в одной плоскости.
Пусть К- точка их пересечения.

Проводим C1O1 до пересечения с окружностью верхнего основания. получаем точку А1

Аналогично прямая АО пересекается с окружностью нижнего основания в точке С.

Треугольники С1О1К и АОК равны по катету
ОА=СО1=R и острому углу (углы С1КО1 и АКО равны, они вертикальные)

О1K =1/2 ОО1

Значит
СС1 АА1=ОО1=ВВ1=6

АА1⊥ пл АВС и СС1⊥ пл. АВС

АС и А1С1- диаметры окружностей нижнего и верхнего основания.
Треугольники АВС и А1В1С1- прямоугольные, так как
∠ АВС = ∠ А1В1С1 = 90 градусов, как углы опирающиеся на диаметр соответствующей окружности.

Значит по теореме Пифагора
АС=А1С1=sqrt(15^2+8^2)=sqrt(225+64)=sqrt(289)=17

BC ⊥ AB ⇒ BC - проекция ВС1, значит по теореме о трех перпендикулярах наклонная BC1 ⊥ АВ;
∠ АВС1 - прямой.

б) ВВ1 || CC1
Значит угол между АС1 и BB1 равен углу между AC1 и CC1
А это угол АС1С
Из прямоугольного треугольника АС1C
tg ∠ АС1C=AC/CC1=17/6
∠ АС1C=arctg(17/6)
О т в е т. arctg(17/6)