Задача 27868 4.2.80) Найти уравнения прямых, на...

slava191

22.05.2018

4.2.80) Найти уравнения прямых, на которых лежат биссектрисы углов между прямыми 3x-4y+12=0 и 5x+12у-2 = 0.

SOVA

22.05.2018

★

Находим координаты точки пересечения прямых
{3x - 4y + 12 = 0
{5x + 12y - 2 = 0

Умножаем первое уравнение на 3
{9x - 12y + 36 = 0
{5x + 12y - 2 = 0

Складываем
14х+34=0
х=-17/7
y=(3x+12)/4
у=33/28

А(-17/7;33/28)

vector{n_(1)}=(3;-4)
нормированный вектор vector{n_(1)}=(3/5;-4/5)
vector{n_(2)}=(5;12)
нормированный вектор vector{n_(2)}=(5/13;12/13)

Нормированный вектор биссектрисы равен сумме нормированных векторов прямых
vector{n_(биссектрисы)}=(64/65;8/65)

Cоставим уравнение прямой с нормальным вектором vector{n_(биссектрисы)}=(64/65;8/65) и проходящей через точку А (-17/7;33/28)

64х+8у+65с=0

64*(-17/7)+8*(33/28)+65с=0

65с=146

64х+8y+146=0
или
32x+4y+73=0 - уравнение одной биссектрисы.

Уравнение второй биссектрисы - уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку А.
Перепишем найденное уравнение в виде:
y=-8x-(73/4)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1
y=(1/8)x+d - общее уравнение прямых, перпендикулярных найденной биссектрисе.
Чтобы найти d подставим координаты точки А

(33/28)=(1/8)*(-17/7)+d
d=83/56

y=(1/8)x+(83/56)
7x-56y+83=0

О т в е т.
32х+4y+73=0
7x-56y+83=0