Задача 27119 Л16) В тупоугольном треугольнике АВС...

slava191

05.05.2018

Л16) В тупоугольном треугольнике АВС (угол С - тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

А) Докажите, что sinABC = PH/BC-KH/BA

Б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что ВА=13, ВС=8, sinABC=7sqrt(3)/26

SOVA

06.05.2018

★

а)
∠ BKH= ∠ BHP=90 градусов, как углы, опирающиеся на диаметр.
ВН ⊥ АС
∠СВН=90 градусов.

Из прямоугольного треугольника РВН:
sin ∠ АBH =PH/HB
Из прямоугольного треугольника СВН:
cos ∠ CBH =BH/BC
Из прямоугольного треугольника АВН:
сos ∠ АBH =BH/AB
Из прямоугольного треугольника КВН:
sin ∠ CBH=КН/ВН


∠ ABC= ∠ АBH - ∠ CBH

sin∠ ABC= sin (∠ АBH - ∠ CBH) =

=sin ∠ АBH * cos ∠ CBH - сos ∠ АBH *sin ∠ CBH=

=(РН/НВ)*(BH/BC)-(BH/AB)*(KH/BH)= [b](PH/BC)-(KH/AB)[/b]

б) По условию АВ=13; ВС=8
sin∠ ABC=7√3/26
Найдем cos∠ ABC=sqrt(1-sin^2∠ ABC)=
=sqrt(1-(7√3/26)^2)=sqrt(676-147)/26=sqrt(529)/26=
=[b]23/26[/b]

По теореме косинусов из Δ АВС
АС^2=13^2+8^2-2*13*8*(23/26)=169+64-184=49
АС=7

S( ΔABC)=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
p=(13+7+8)/2=14
S=sqrt(14*1*7*6)=14sqrt(3)

S(ΔABC)=(1/2)AC*BH

BH=2S/AC=28sqrt(3)/7=4sqrt(3)
[b]BH=4sqrt(3) [/b]

[b]BH=2R [/b] - диаметр описанной около четырехугольника HKPB и около треугольника КРВ окружности

∠PBC=∠ABC
По теореме синусов
KP/sin∠PBC=2R

KP=2R*sin∠ABC=4sqrt(3)*(7sqrt(3)/26)=[b]42/13[/b]

О т в е т. 42/13