Задача 26414 4.1.26) В треугольнике с вершинами O(0 ;...

slava191

17.04.2018

4.1.26) В треугольнике с вершинами O(0 ; 0), А (8; 0), B(0; 6) определить
длину медианы ОС и биссектрисы OD

SOVA

18.04.2018

★

AB=sqrt((0-8)^2+(6-0)^2)=10

В прямоугольном треугольнике AС=ВС=ОС=(1/2)AB=5


Биссектриса OD делит прямой угол О пополам:
∠BOD=∠DOA=45 градусов

S(Δ BOD)=(1/2) BO*OD*sin 45^(o)
S(Δ DOA)=(1/2)OA*OD*sin 45^(o)
S(Δ BOD) + S(Δ DOA)=S(Δ BOA)
(1/2)OD* sin45^(o)*(BO+OA)=(1/2)BO*OA

OD=2BO*OA/((BO+OA)sqrt(2))=

=2*6*8/(6+8)*sqrt(2)=24sqrt(2)/7

Второй способ вычиcления биссектрисы OD

Биссектриса OD делит сторону АВ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

BD: DA=BO: AO=6:8=3:4

Пусть BD=3x; DA=4x
BD+DA=10
3x+4x=10
7x=10
x=10/7

BD=30/7
DA=40/7

По теореме косинусов
BD^2=BO^2+OD^2-2BO*OD*cos 45 градусов

(30/7)^2=6^2+OD^2-2*6*OD*cos 45 градусов
OD^2 - 6*sqrt(2)*OD +(864/49) =0

D=(6*sqrt(2))^2-4*(864/49)=(72*49-3456)/49=72/49=
=(6sqrt(2)/7)^2
OD=(6sqrt(2)+(6sqrt(2)/7))/2=24sqrt(2)/7
или
OD=(6sqrt(2)-(6sqrt(2)/7))/2=18sqrt(2)/7≈3,6 не удовлетворяет условию задачи, потому что высота из точки О равна 6*8/10=4,8
А высота это перпендикуляр. Наклонная всегда больше перпендикуляра.

О т в е т. медиана ОС = 5
биссектриса OD=24sqrt(2)/7