Задача 2506 в единичном кубе A..D1 найдите...

fedotoval

14.12.2014

в единичном кубе A..D1 найдите расстояние от точки C до плоскости BDC1

cnlex

15.12.2014

Разрежем куб на две равные части (две призмы) плоскостью, проходящей через отрезки AD1 и BC1. Призма AD1DBC1C разбивается плоскостью BDC1 на две пирамиды-треугольную и четырёхугольную. 4угольная пирамида имеет основанием прямоугольник AD1C1B и вершину D. Её объём равен одной третьей произведения площади основания на высоту. Площадь основания равна 1*sqrt(2), высота равна sqrt(2)/2 т.к. это половина диагонали A1D.
Поэтому объём равен (1/3)*1*sqrt(2)*sqrt(2)/2=1/3.
Объём треугольной пирамиды BDC1С равен 1/2-1/3=1/6 (потому что вместе с 4угольной она составляет половину единичного куба).

С другой стороны, объём пирамиды равен V=Sh/3. Отсюда h=3V/S. S=(a^2)sqrt(3)/4, потомоу что это равносторонний треугольник со стороной а=sqrt(2). S= 2*sqrt(3)/4=sqrt(3)/2. h=3*(1/6)/(sqrt(3)/2)=1/sqrt(3)
А эта высота и есть искомое расстояние от точки С до BDC1. Ответ:1/sqrt(3)= sqrt(3)/3