Задача 25 Точка D — середина гипотенузы АВ...

slava191

18.11.2013

Точка D — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC. Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC.

Пусть указанная окружность касается отрезка CD в его
середине М, а отрезков AD и АС — в точках N и К соответственно.
Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то AD — CD. По
свойству касательных, проведённых к окружно-
С сти из одной точки,
АК = AN, CK = СМ,
DN = DM = cD = AD,
N
D
в поэтому AN = 7:AD. Значит,
cD = CD = AD.
AC = АК + СК = AN + CM = ^
Поэтому треугольник ACD — равносторонний. Следовательно,
ABAC = Z.DAC = 60°, ZABC = 90° - ABAC = 30°.


Ответ: 30 и 60