Задача 21578 Найти проекцию точки P(-6; 4) на прямую...
Условие
Решение
Нормальный вектор данной прямой имеет координаты
(4;-5)
Пусть нормальный вектор перпендикулярной прямой имеет координаты (А;B)
Нормальные векторы взаимно перпендикулярных прямых ортогональны.
Значит, их скалярное произведение равно 0.
4А-5B=0
A=5B/4
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид
Ax+By+C=0 (A=5B/4)
(5B/4)x+By+C=0
Прямая проходит через точку P(-6;4)
Подставим координаты этой точки в уравнение
(5B/4)*(-6)+B*4+C=0
С=14В/4
Итак
(5B/4)x+(By+14В/4)=0
Сокращаем на В
5х+4у+14=0 - уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку P
Точка пересечения прямых 4x–5y+3=0 и 5х+4у+14=0
и есть проекция точки Р
{4x–5y+3=0
{5х+4у+14=0
Умножаем первое уравнение на 4, второе на 5
{16x–20y+12=0
{25х+20у+70=0
Складываем
41x+82=0
x=-2
y=(-5x-14)/4=(10-14)/4=-1
О т в е т. (-2;-1)