Задача 15369 Разложить по степенях x+4 функцию...
Условие
Решение
Применяем формулу Тейлора.
см. приложение.
f(x)=1/(x^2+3x+2)
a=-4
f(-4)=1/6
f`(x)=-(2x+3)/(x^2+3x+2)^2;
f`(-4)=-(-8+3)/6^2=5/36
f``(x)=-(2*(x^2+3x+2)^2-2(x^2+3x+2)*(2x+3)*(2x+3))/(x^2+3x+2)^4=
=(6x^2+18x+14)/(x^2+3x+2)^3
f``(-4)=38/216
...
Подставляем найденные значения коэффициентов Тейлора в формулу.
Получим ответ ( см. приложение)
2 способ.
Известно разложение функции f(x)=1/(1-x) в ряд:
1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n)+...,
которое при |x| < 1 представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ряд сходится для всех х, |x| < 1
Данная функция представима в виде разности двух дробей:
1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x))
Разложим
1/(1+х)=1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+...
Ряд сходится при |x| < 1
1/(2+x)=(1/2)*(1/(1+(x/2)))=
=(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...)
Ряд сходится при всех |x/2| < 1 или |x| < 2
Тогда
1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x))=
=(1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+...)+
+(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...)=
(1+(1/2))-(1+(1/4))x+(1+(1/8))x^3+...
...+ (-1)^n(1+(1/2^(n+1))x^n+...
Ряд сходится как разность двух сходящихся рядов на пересечении областей сходимсти
двух рядов, а это значит на множестве (-1;1)
