ЗАДАЧА 12781 Известно, что если сумма каких-то трех

УСЛОВИЕ:

Известно, что если сумма каких-то трех натуральных чисел делится на n, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

Добавил elvira_gaysina@ , просмотры: ☺ 33 ⌚ 09.01.2017. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Сначала регистрация

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ!

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^(11)+b^(11)+c^(11)):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^(11)+b^(11)+c^(11))-(a+b+c)=
=(a^(11)-a)+(b^(11)-b)+(c^(11)-c)

Достаточно показать, что
a^(11)-a кратно n
a^(11)-a=a(a^(10)-1)=a*(a^5-1)*(a^5+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 11 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^(11)-a кратно 6*11=66
может и больше, чем 66 проверяйте, на что делятся множители
(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

О т в е т. n=66
ЕСТЬ ВОПРОСЫ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
Сначала регистрация
Сначала регистрация

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

MargaritaPyrkina ✎ к задаче 12958

MargaritaPyrkina ✎ к задаче 12959

MargaritaPyrkina ✎ к задаче 12968

SOVA ✎ 1) S=∫^1_(-1)(0-(x^2-1))dx=(x-(x^3/3))^1_(-1)=4/3; 2)S=∫^0_(-1)(-x-(x^3))dx=((x^4/4)-(x^2/2))^0_(-1)=1/4; 3)S=∫^1_0(5x-2x)dx=(3^2/2))^1_0=3/2. к задаче 12963

SOVA ✎ Замена переменной 7^x=t; t > 0 (t-1)/3=(7t+49)/7t Применяем основное свойство пропорции 7t*(t-1)=3*(7t+49) 7t^2-28t-147=0 t^2-4t-21=0 D=16+4*21=100 t=7 или t=-3 - не удовл. условию t > 0 7^x=7 x=1 О т в е т. х=1 к задаче 12965