ЗАДАЧА 12781 Известно, что если сумма каких-то трех

УСЛОВИЕ:

Известно, что если сумма каких-то трех натуральных чисел делится на n, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

Показать решение

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^(11)+b^(11)+c^(11)):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^(11)+b^(11)+c^(11))-(a+b+c)=
=(a^(11)-a)+(b^(11)-b)+(c^(11)-c)

Достаточно показать, что
a^(11)-a кратно n
a^(11)-a=a(a^(10)-1)=a*(a^5-1)*(a^5+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 11 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^(11)-a кратно 6*11=66
может и больше, чем 66 проверяйте, на что делятся множители
(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

О т в е т. n=66
ЕСТЬ ВОПРОСЫ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
Сначала регистрация
Сначала регистрация

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил elvira_gaysina@ , просмотры: ☺ 77 ⌚ 09.01.2017. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Сначала регистрация
Лучший ответ к заданию выводится как основной

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

vk192924790 ✎ 3 к задаче 4698

vk373384374 ✎ Законно-ЗАКОН ОБ ОБРАЗОВАНИИ к задаче 13960

SOVA ✎ http://reshimvse.com/zadacha.php?id=13586 к задаче 13959

SOVA ✎ 1) (1/7)+(18/21)=(3/21)+(18/21)=21/21=1 4)5x^2+6x-11=0 D=36-4*5*(-11)=4(9+55)=4*64=16^2 x1=(-6-16)/10=-2,2 или x2=(-6+16)/10=1 О т в е т. -2,2; 1 к задаче 13957

SOVA ✎ 7b-8 и есть ответ. Больше ничего упростить нельзя к задаче 13958