ЗАДАЧА 12781 Известно, что если сумма каких-то трех

УСЛОВИЕ:

Известно, что если сумма каких-то трех натуральных чисел делится на n, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

Показать решение

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^(11)+b^(11)+c^(11)):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^(11)+b^(11)+c^(11))-(a+b+c)=
=(a^(11)-a)+(b^(11)-b)+(c^(11)-c)

Достаточно показать, что
a^(11)-a кратно n
a^(11)-a=a(a^(10)-1)=a*(a^5-1)*(a^5+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 11 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^(11)-a кратно 6*11=66
может и больше, чем 66 проверяйте, на что делятся множители
(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

О т в е т. n=66
ЕСТЬ ВОПРОСЫ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
Сначала регистрация
Сначала регистрация

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил elvira_gaysina@ , просмотры: ☺ 93 ⌚ 09.01.2017. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Сначала регистрация
Лучший ответ к заданию выводится как основной

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

vk165902784 ✎ к задаче 14474

vk165902784 ✎ к задаче 14473

slava191 ✎ Интересный факт. Спасибо! к задаче 14472

SOVA ✎ По формулам приведения tg 142 градусов= tg (90+52) градусов=-ctg 52 градусов. По формуле tg α* ctgα = 1. О т в е т. 20 к задаче 14469

SOVA ✎ По условию. Расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 17. ОН=17 к задаче 14471