Задача 12463 Высоты BB1 и СС1 остроугольного...

slava191

21.12.2016

Высоты BB1 и СС1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что угол AHB1 = углу ACB.
б) Найдите BC, если AH=8sqrt(3) и угол BAC=60 °.

SOVA

21.12.2016

★

а)
Из прямоугольного треугольника АВВ1 ( см. рис.1)
сos∠A=AB1/AB;
Из прямоугольного треугольника АC1C
сos∠A=AC1/AС;
Значит
AB1/AB=AC1/AС
или
AB1/AС1=AB/AС
Треугольник АС1В1 подобен треугольнику АВС.
Угол А общий и стороны, образующие этот угол пропорциональны.
Треугольник АС1В1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия cos ∠A
Значит ∠AС1В1=∠АСВ и ∠AВ1С1=∠АВС.


Около четырехугольника АС1НВ1 можно описать окружность.
АН– диаметр этой окружности ( см. рис. 2)
Тогда ∠AНВ1=∠AС1В1 как углы опирающиеся на одинаковые дуги
∠AНВ1=∠AС1В1=∠АСВ
аналогично ,∠AНС1=∠AВ1С1=∠АВС

б) ∠ВАС=60 °
По теореме синусов
С1В1/sin∠ВАС= 2R, где R- радиус окружности, описанной около треугольника АВ1С1
2R=AH=8sqrt(3)
В1С1=8sqrt(3)·sin60 °=12
Из подобия треугольников АВС и АВ1С1 следует
B1C1/BC=cos∠ВАС
12/BC=cos60 градусов.
BC=12*2