Задача 12450 ...

SOVA

21.12.2016

а) Решить уравнение 15^(cosx)=3^(cosx)*(0,2)^(-sinx);
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[-3π;-3π/2].

a)15^(cosx)=3^(cosx)*(0,2)^(-sinx);
15^(cosx)=(3*5)^(cosx)=3^(cosx)*5^(cosx);
(0,2)^(-sinx)=(1/5)^(-sinx)=(5^(-1))^(-sinx)=5^(sinx);
Уравнение принимает вид:
3^(cosx)*5^(cosx)=3^(cosx)*5^(sinx);
3^(cosx) > 0
5^(cosx)=5^(sinx)
cosx=sinx
tgx=1
x=(π/4)+πk, k∈Z

б) Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку [-3π;-3π/2] рассмотрим неравенства.
-3π меньше или равно (π/4)+πk меньше или равно -3π/2, k∈Z
-3 меньше или равно (1/4)+k меньше или равно -3/2, k∈Z
-3 целых 1/4 меньше или равно k меньше или равно (1/4)-(3/2), k∈Z
-3 целых 1/4 меньше или равно k меньше или равно (-5/4), k∈Z
неравенству удовлетворяют k=-3 и k=-2
При k=-3
x=(π/4)-3π=-11π/4
При k=-2
x=(π/4)-2π=-7π/4


Ответ: О т в е т. а)(π/4)+πk, k∈Z; б) -11π/4; -7π/4.