Задача 12353 Медиана AM и биссектриса CD...

slava191

18.12.2016

Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B  пересекается в точке O.

a) Докажите, что CO/OD = AB/AD
б) Найдите площадь треугольника ABC,  если CO=9, OD=5.

SOVA

18.12.2016

★

Достроим треугольник до параллелограмма.
Отложим МК=АМ.
АСКВ- параллелограмм, так как диагонали АК и ВС в точке пересечения М - делятся пополам.
Значит АВ||CK
Треугольники ADO И КСО подобны по двум углам:
∠AOD=∠COK-вертикальные.
∠OАD=∠OKС - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СК и секущей АК.
Из подобия
АО:ОК=AD:CK=DO:CO=5:9
Так как АВ=СК, то
AD:AB=DO:OC=5:9 ⇒
AB:AD=CO:DO
и
AD:BD=5:4

Б)
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
AD:BD=AC:BC
AD:BD=5:4 ⇒ АС:ВС=5:4
Пусть АС=5х, тогда ВС=4х
По теореме Пифагора АВ=3х
По формуле для вычисления биссектрисы внутреннего угла треугольника
СD=2*AC*BC*cos(∠ACB/2)/(AC+BC)
CD=9+5=14
cos∠ACB=BC/AC=4/5, тогда
cos(∠ACB/2)=sqrt((1+cos∠ACB)/2)=sqrt(9/10)=3/sqrt(10)
14=(2*5x*4x*3/sqrt(10))/(5x+4x)
x=21sqrt(10)/20
S(Δ АВС)=АВ*ВС/2=3х*4х/2=6*(441*10/400)=1323/20 кв. ед.