Задача 12117 ...

slava191

10.12.2016

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.
Б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.

SOVA

10.12.2016

★

А)По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
АТ=AF
и
FM=MQ
PT=QP
Так как
AF=AB/2;АТ=AD/2;то
Р(Δ АМР)=АМ+МР+РА=АМ+МQ+QP+PA=AM+MF+TP+PA=
=AF+TA=(AB/2)+(AD/2)=(AB/2)+(AB/2)=AB.

Б)
Пусть АМ=х, тогда МВ=3х, АМ:МВ=х:3х=1:3
АВ=АМ+МВ=х+3х=4х.
AF=AB/2=2x
AM=MF=x

Пусть QP=PT=y
AP=AT-TP=2x-y
По теореме Пифагора
MP^2=AM^2+AP^2
(x+y)^2=x^2+(2x-y)^2
x^2+2xy+y^2=x^2+4x^2-4xy+y^2
6xy=4x^2
y=2x/3
Тогда
AP=2x-(2x/3)=4x/3
PD=PT+TD=(2x/3)+2x=8x/3
Из подобия треугольников
АМР и РDК
АМ:DK=AP:PD
x:DK=(4x/3):(8x/3)
DK=2x

Прямоугольные треугольники ЕFO и OSK равны.
по катету (FO=OS)
и острому углу (∠FOE=∠KOS, как вертикальные)
SK=SD+DK=2x+2x=4x
EF=SK=4x
ЁF=EB+BF
BF=2x
BE=2x
ВЕ:ВМ=2х:3х=2:3
О т в е т. ВЕ:ВМ=2:3