Задача 11837 ...

slava191

26.11.2016

Хорда АВ окружности параллельна касательной, проходящей через точку С, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

А) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.

Б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр СР, если известно, что угол APB = 150 градусов.

SOVA

26.11.2016

★

ОС⊥касательной а ( касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).
АВ|| касательной а, значит AB ⊥OC и
AB⊥ диаметру СP.
Диаметр, перпендикулярный хорде делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
АК=КВ
Дуга АР равна дуге РВ.
Хорда АР равна хорде РВ.
Треугольник АРВ- равнобедренный.

Дуга АСВ равна 300 градусов (вписанный угол АРВ измеряется половиной дуги, на которую он опирается).
Дуга АРВ равна 360 градусов - 300 градусов= 60 градусов.
Центральный угол АОВ измеряется дугой, на которую он опирается.
Значит, ∠АОВ=60 градусов,
∠АОК=∠ВОК=30 градусов.
В прямоугольном треугольнике КОВ катет КВ, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы ОВ.
ОВ=R, KB=R/2, КO=Rsqrt(3)/2
PK=PO-KO=R-(Rsqrt(3)/2)=(2-sqrt(3))R/2
KC=KO+OC=(Rsqrt(3)/2)+R=(2+sqrt(3))R/2

PK:KC=(2-sqrt(3)):(2+sqrt(3)=(2-sqrt(3))^2:(2^2-(sqrt(3))^2)=(4-4sqrt(3)+3):1=(7-4sqrt(3)):1.

О т в е т. (7-4sqrt(3)):1