Задача 11823 Стоимость разработки электронной версии...

SOVA

26.11.2016

Стоимость разработки электронной версии учебника
некоторого издания равна 800 тыс. рублей. Затраты
на производство х тысяч таких электронных учебников
в этом издательстве равны (x^2+6x+22100) тысяч рублей
в год. Если учебники продавать по цене а руб. за единицу,
то прибыль издательства за один год составит ax-(x^2+6x+22100).
Издательство будет выпускать учебники в таком количестве,
чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении а
разработка учебника окупится не более чем за 2 года?

За два года прибыль составит:
2*(ax-(x^2+6x+22100)),
так как за это время должна окупиться разработка учебника,
то эта прибыль должна быть не менее 800 тыс. руб.
Составим неравенство:
2*(ax-(x^2+6x+22100)) ≥ 800 .
Запишем неравенство для а.
ax-(x^2+6x+22100)≥400 ;
ax≥400 +x^2+6x+22100;
a≥х+6+(22500/х) .
Наименьшее значение
а=х+6+(22500/х);
a(x)=x+6+(22500/x).
Применяем производную.
a`(x)=(х+6+(22500/x) )'=1-(22500/x^2).
а`=0.
1- (22500/x^2) =0.
х=150 или х=-150(отрицательное значение не удовл. условию, х - натуральное число).
Вычислим наименьшее значение а при х=150
а(150) = 150+6+(22500/150) = 306.
О т в е т. а=306.

Ответ: a=306