Задача 11517 Решите неравенство 9/(3+log3x*log3(9/x))...
Условие
Решение
{x > 0
Пусть log_(3)x=t, тогда
log_(3)(9/x)=log_(3)9-log_(3)x=2-t
log^2_(3)x=t^2;
log_(3)(x^2/27)=log_(3)x^2-log_(3)27=
2log_(3)x-3=2t-3
Неравенство принимает вид:
9/(3+t*(2-t)) меньше или равно t^2 - 2t+3;
9-(3+2t-t^2)*(t^2-2t+3)/(3+2t-t^2)) меньше или равно 0;
(t^2-2t)^2/(3+2t-t^2)меньше или равно 0.
Так как
(t^2-2t)^2 больше или равно 0, то неравенство равносильно совокупности уравнения
(t^2-2t)=0 и неравенства
3t+2t-t^2 < 0
t=0 или t=2 или t^2-2t-3 > 0
D=4+12=16
корни квадратного трехчлена - 1 и 3
t < -1 или t > 3
Возвращаемся к переменной х
log_(3)x=0 x=3^0=1
или
log_(3)x=2
x=3^2
x=9
или
log_(3)x < -1;
x < 1/3
или
log_(3)x > 1
x > 27
О т в е т. (0;1/3)U{1}U{9}U(27;+бесконечность).