Задача 11496 На основании AD трапеции ABCD отмечена...

aliza

13.11.2016

На основании AD трапеции ABCD отмечена точка F. Оказалось, что AB = BF и FC=CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABF,FCD,BFC равны 3, 5 и 4 соответственно. Найдите отношение AF:FD.

SOVA

13.11.2016

★

Пусть AB=BF=a; FС=CD=b
Высота трапеции h=BK=CT

Треугольник АВF – равнобедренный.
Высота СК делит сторону AF пополам
АК=КF=х
Треугольник FCD – равнобедренный.
Высота СT делит сторону FD пополам
FT=TD=y
Поэтому BC=x+y=AD/2
Запишем площади треугольников по формулам
S=r*p, S– площадь треугольника , р – полупериметр
S=a*h/2
и получим систему трех уравнений с четырьмя переменными.
{2х*h/2=3*(2x+2a)/2;
{2y*h/2=5*(2y+2b)/2;
{(x+y)*h/2=(a+b+x+y)*4/2.
или
{х*h=3x+3a;
{y*h=5y+5b;
{(x+y)*h/2=2a+2b+2x+2y.
Складываем первое и второе
{(x+y)*h=3x+5y+3a+5b;
{(x+y)*h/2=2x+2y+2a+2b.
Умножаем первое на 2, второе на 3
{2(x+y)*h=6x+10y+6a+10b;
{3(x+y)*h/2=6x+6y+6a+6b.
(x+y)*h/2=4y+4b ⇒ y+b=(x+y)*h/8
так как y*h=5y+5b, то
(х+у)*h/8=y*h/5
или
5*(x+y)=8y
5x=3y
x/y=3/5
О т в е т. АF:FD=x:y=3:5.

vk373384374

13.11.2016

3:2