Задача 11247 Сколько существует таких k, (k...

vk86440734

04.11.2016

Сколько существует таких k, (k принадлежит N), что cos(10Pi/k) < sin(10Pi/k)?

SOVA

09.11.2016

★

cos(10 пи /k) < sin(10 пи /k);
cos(10 пи /k) - sin(10 пи/k) < 0.
По формулам приведения
cos(10 пи/k)=sin ((пи/2) - (10 пи/k)).

sin ((пи/2) - (10 пи/k))-sin(10 пи/k) < 0

Формула
sin альфа - sin бета =2*sin(( альфа - бета)/2)* sin(альфа + бета)/2)

2*sin((пи/4) - (10 пи/k))* cos(пи/4) < 0;

sin((пи/4) - (10 пи/k)) < 0

- пи +2 пи n < (пи/4) - (10 пи/k) < 0+2 пи n, n - целое

- пи -(пи/4) +2 пи n < - (10 пи/k) < (- пи/4) +2 пи n , n - целое

(пи/4) +2 пи m < (10 пи/k) < (5 пи/4) +2 пи m , m - целое. m=-n

(1/4) +2m < (10/k) < (5/4) +2m , m - целое.

При k=2 и m=2
(1/4)+4 < 5 < (5/4) + 4 - верно
17/4 < 20/4 < 21/4


При k=4 и m=1
(1/4)+2 < 10/4 < (5/4) + 2 - верно, так как
9/4 < 10/4 < 13/4

При k=8 и m=0
(1/4)+0 < 10/8 < (5/4) + 0 - неверно, так как
10/8 < 5/4 - неверно

При k=9 и m=0
(1/4)+0 < 10/9 < (5/4) + 0 - верно, так как
9/36 < 40/36 < 45/36

При k=10 и m=0
(1/4)+0 < 10/10 < (5/4) + 0 - верно, так как
1/4 < 4/4 < 5/4

При k=11 и m=0
(1/4)+0 < 10/11 < (5/4) + 0 - верно, так как
11/44 < 40/44 < 55/44


При k=12 и m=0
(1/4)+0 < 10/12 < (5/4) + 0 - верно, так как
6/24 < 20/24 < 30/24

При k=13 и m=0
(1/4)+0 < 10/13 < (5/4) + 0 - верно, так как
13/52 < 40/52 < 65/52

При k=14 и m=0
(1/4)+0 < 10/14 < (5/4) + 0 - верно, так как
7/28 < 20/28 < 35/28

При k=15 и m=0
(1/4)+0 < 10/15 < (5/4) + 0 - верно, так как
15/60 < 40/60 < 75/60

При k=16 и m=0
(1/4)+0 < 10/16 < (5/4) + 0 - верно, так как
16/64 < 40/64 < 80/64

При k=40 и m=0
(1/4)+0 < 10/40 < (5/4) + 0 - неверно, так как
1/4 < 1/4 -неверно.

О т в е т. k=2; 4; 9; ... 39
Всего 33