Задача 10735 Найдите все значение a, при каждом из...
Условие
a^2+11|x+2|+3sqrt(x^2+4x+13) = 5a+2|x-2a+2|
имеет хотя бы один корень.
Решение
[m]3\sqrt{(x+2)^2+9}=2\cdot |x–2a+2|-11\cdot |x+2|+5a-a^2[/m].
[i]Замена переменной[/i]: [m]х+2=t[/m]
[m]3\sqrt{t^2+9}=2\cdot |t–2a|-11\cdot |t|+5a-a^2[/m].
Введем в рассмотрение функции
[m]f(t)=3\sqrt{t^2+9}[/m] и [m] g(t)=2\cdot |t–2a|-11\cdot |t|+5a-a^2[/m]
Функция[m]y= f(t)[/m] определена при [m] t \in (-\infty;+\infty) [/m]
[m]f `(t)=3\frac{t}{\sqrt{t^2+9}}[/m]
f`(t) < 0 при t < 0 и f`(t) > 0 при t > 0.
[m]t=0[/m] - [i]точка минимума [/i] функции [m]y= f(t)[/m]
[m]f(0)=3\sqrt{0^2+9}=9[/m]
Функция[m]y= g(t)[/m] - кусочно- непрерывная функция,
имеет производную при всех t ∈(-∞;+∞) , кроме t=0 и t=2a
При t> 0
[m]g(t)=\left\{\begin{matrix} 2(t-2a)-11t+5a-a^2, &t-2a ≥ 0 \\ 2(-t+2a)-11t+5a-a^2, & t-2a < 0. \end{matrix}\right.[/m]
или
[m]g(t)=)\left\{\begin{matrix} -9t+a-a^2, & t-2a\geq 0\\ -13t+9a-a^2,&t-2a <0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]g`(t)=\left\{\begin{matrix} -9, &t-2a\geq 0 \\ -13 & t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]
Функция g(t) [i]убывает[/i] при t> 0.
При t < 0
[m]g(t)=\left\{\begin{matrix} 2(t-2a)+11t+5a-a^2, &t-2a\geq 0 \\ 2(-t+2a)+11t+5a-a^2, & t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]
или
[m]g(t))\left\{\begin{matrix} 13t+a-a^2,& t-2a\geq 0\\ 9t+9a-a^2,& t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]g`(t)= \left\{\begin{matrix} 13 & t-2a\geq 0\\ 9& t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]
Функция g(t) [i]возрастает[/i] при t < 0
Уравнение
f(t)=g(t) имеет [i]хотя бы один[/i] корень , если графики функций у=f(t) и у=g(t) пересекаются[i] хотя бы в одной[/i] точке.
Чтобы графики функций у=f(t) и у=g(t) пересекались хотя бы в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
[m]f(0) ≤ g(0)[/m].
[m]9 ≤ 2\cdot |0-2a|-11\cdot |0|+5a-a^2[/m] ⇒
[m]9 ≤ 4\cdot |a|+5a-a^2[/m], которое заменим совокупностью двух систем
1)
{a больше или равно 0;
{a^2-9a+9 меньше или равно 0.
2)
{a < 0;
{a^2-a+9 меньше или равно 0
О т в е т. [[m]\frac{9-3\sqrt{5}}{2}; \frac{9+3\sqrt{5}}{2}[/m]]