Задача 10565 Решить log(x+1)(5-x) меньше или равно 2...
Условие
Решение
2=log_(x+1)(x+1)^2
Неравенство принимает вид:
log_(x+1)(5-x) меньше или равно log_(x+1)(x+1)^2.
Рассматриваем два случая.
1) х+1 > 1 при этом логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответcтвует большее значение аргумента.Данное неравенство заменим на неравенство между аргументами:
(5-х) меньше или равно (х+1)^2
При этом выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
Система
{x+1 > 0 ⇒ x > -1
{5-x меньше или равно (х+1)^2 ⇒x^2+3x-4≥0
{5-x > 0 ⇒ x < 5
Решением системы являются x∈[1;5)
2)0 < х+1 < 1 при этом логарифмическая функция убывает, данное неравенство заменим на неравенство между аргументами:
(5-х) больше или равно (х+1)^2
При этом выражение под знаком логарифма автоматически становится положительным.
Система
{0 < x+1 < 1 ⇒ -1 < x < 0
{5-x больше или равно (х+1)^2 ⇒x^2+3x-4 меньше или равно 0
Решением системы являются x∈(-1;0).
Объединяем оба ответа.
Ответ. x∈(-1;0)U[1;5)
Можно значительно упростить решение если применить метод рационализации логарифмических неравенств.
Он позволяет переходить от неравенства
log_(x+1)(5-x) меньше или равно log_(x+1)(x+1)^2
к неравенству
(х+1-1)(5-х-(х+1)^2) меньше или равно 0
с учетом ОДЗ: 5-x > 0; х+1 > 0,x+1≠1
x(-x^2-3x+4)меньше или равно 0
x(x^2+3x-4) больше или равно 0
__-__[-4]__+___0__-__[1]__+__
x∈[-4;0)U[1;+∞)
С учетом ОДЗ: (x∈-1;0)U(0;5), получаем ответ.
О т в е т. (-1;0)U[1;5)