Задача 10516 Треугольник задан вершинами: А(-8;-2),...
Условие
1)Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС.
2)Уравнение медианы СD.
3)Уравнение высоты АЕ.
4)Угол В.
5)Центр тяжести этого треугольника.
Решение
(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁).
1)Уравнение прямой АС:
(x-(-8))/(4-(-8))=(y-(-2))/(4-(-2));
(x+8)/12=(y+2))/6;
6(х+8)=12(y+2);
6x-12y+24=0.
2) (x+8)/12=(y+2)/6 - уравнение прямой АС с направляющим вектором (12;6).
Прямая ВN параллельна АС, значит ее уравнение можно записать как уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором (12;6).
(x-2)/12=(y-10)/6;
6x-12=12y-120;
6x-12y+108=0
3)Координаты точки D - середины отрезка АB: х_(D)=(х_(А)+х_(В))/2=(-8+2)/2=-3, у_(D)=(y_(А)+y_(B))/2=(-2+10)/2=4.
D(-3; 4)
С(4;4)
Уравнение прямой CD как уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами написать невозможно так как во второй дроби знаменатель равен 0.
Это получается из-за того, что вторые координаты точек С и D одинаковые и равны 4. Это и есть характерное свойство прямой CD.
Уравнение прямой CD: у=4.
3) Чтобы написать уравнение высоты АЕ, напишем уравнение прямой ВС, как прямой проходящей через две точки
(x-2)/(4-2)=(y-10)/(4-10)
или
(x-2)/2=(y-10)/(-6)
-6х+12=2у-20
6х+2у-32=0
Нормальный вектор (6;2) прямой ВС является направляющим вектором прямой АЕ, перпендикулярной ВС.
Уравнение прямой АЕ
(х+8)/6=(у+2)/2
2(х+8)=6(у+2)
2х-6у+4=0
4) Чтобы найти угол В найдем скалярное произведение векторов, выходящих из точки В.
ВА и ВС.
vector{BA}=(-8-2;-2-10)=(-10;-12),
vector{BC}=(4-2;4-10)=(2;-6)
cos ∠B=(2•(-10)+(-12)•(-6))/
=52/√((-10)^2+(-12)^2)•√((2)^2+(-6)^2)=13/√610.
5) М- точка пересечения медиан.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Находим координаты вектора СМ, который равен 2/3 вектора СВ
vector{CD}=(-7;0)
vector{CM}=(-14/3;0)
x_(М)-х_(С)=-14/3;
у_(М)-у_(С)=0;
М(-2/3;0).