Задача 10402 Какое наибольшее значение может...

vk197987763

06.10.2016

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:

SOVA

11.11.2016

★

Перепишем систему в виде:
{sinx=(12/7)cosx•cosy
{siny=(12/7)cosy•cosz
{sinz=(12/7)cosx•cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(144/49)cos^2x•cos^2y
{sin^2y=(144/49)cos^2y•cos^2z
{sin^2z=(144/49)cos^2x•cos^2z

Заменим sin^2x=1–cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t ≥ 0 ; cos^2y=u, u≥ 0; cos^2z=v, v ≥ 0.
Cистема принимает вид:
{1–t=(144/49)ut; ⇒{t=49/(144u+49);
{1–u=(144/49)uv; ⇒{u=49/(144v+49);⇒ v=(49–49u)/144u
{1–v=(144/49)vt. ⇒{v=49/(144t+49).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(49–49u)/144u=49/(144•((49/(144u+49))+49);
144u^2+49u-49=0
D=49^2-4*144*(-49)=49*(49+576)=49*625=(7*25)^2=175^2
u=(-49+175)/288==7/16 второй корень не удовл. условию u≥0
v=7/16
t=7/16

Итак,
сosx=±sqrt(7)/4; cosy=±sqrt(7)/4; cosz=±sqrt(7)/4;
sinx=±3/4; siny=±3/4; sinz=±3/4.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx•cosy•cosz+cosx•siny•cosz+cosx•cosy•sinz–sinx•siny•sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±3/4)•(±sqrt(7)/4)•(±sqrt(7)/4)+(±3/4)•(±sqrt(7)/4)•(±sqrt(7)/4)+(±3/4)•(±sqrt(7)/4)•(±sqrt(7)/4)–(±3/4)•(±3/4)•(±3/4)|=
=|(3/4)•((7/16)-7/16)+(7/16)+(9/16))|=(3/4)•1=3/4