ЗАДАЧА 10291 Какое наибольшее значение может

УСЛОВИЕ:

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:

{tgx = (20/9)cosy
{tgy = (20/9)cosz
{tgz = (20/9)cosx

Показать решение

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Перепишем систему в виде:
{sinx=(20/9)cosx*cosy
{siny=(20/9)cosy*cosz
{sinz=(20/9)cosx*cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(400/81)cos^2x*cos^2y
{sin^2y=(400/81)cos^2y*cos^2z
{sin^2z=(400/81)cos^2x*cos^2z

Заменим sin^2x=1-cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t > 0 ; cos^2y=u, u > 0; cos^2z=v, V > 0.
Cистема принимает вид:
{1-t=(400/81)ut; ⇒{t=81/(400u+81);
{1-u=(400/81)uv; ⇒{u=81/(400v+81);⇒ v=(81-81u)/400u
{1-v=(400/81)vt. ⇒{v=81/(400t+81).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(81-81u)/400u=81/(400*(81/(400u+81)+81);
400u^2+81u-81=0
D=81^2+4*400*81=81*(81+1600)=81*1681=(9*41)^2=
=(369)^2
u=(-81+369)/800=0,36 второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию

t=81/(400*0,36+81)=81/(144+81)=81/225=0,36

v=(81-81*0,36)/(400*0,36)=0,36

Итак,
сosx=±0,6; cosy=±0,6; cosz=±0,6;
sinx=±0,8; siny=±0,8; sinz=±0,8.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx*cosy*cosz+cosx*siny*cosz+cosx*cosy*sinz-sinx*siny*sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±0,8)*(±0,6)*(±0,6)+0,8*(±0,6)*(±0,6)+(±0,8)*(±0,6)*(±0,6)-(±0,8)*(±0,8)*(±0,8)|=
=|0,8*(0,36-0,36+0,36+0,64)|=0,8
ЕСТЬ ВОПРОСЫ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
Сначала регистрация
Сначала регистрация

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 1726 ⌚ 01.10.2016. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Сначала регистрация
Лучший ответ к заданию выводится как основной

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

SOVA ✎ 1. Пусть один катет а=5 , второй катет b=12, тогда по теореме Пифагора с=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(5^2+12^2)=sqrt(25=144)=sqrt(169)= =13. S(полн.)=2S(осн.)+S(бок.)=2*(1/2)a*b+P(осн.)*H= =2*(1/2)*5*12+(5+12+13)*8=60+240=300 2.Пусть сторона верхнего основания равна а, нижнего b. Тогда S(полн.)=S1(осн.)+S2(осн.)+S(бок.)= =a^2+b^2+4S(трапеции)= =a^2+b^2+4*(a+b)*h/2 h-апофема боковой грани. По теореме Пифагора h^2=H^2+((b-a)/2))^2=4^2+(4-1)^2=16+9=25 h=5 (см. рис.) S(полн.)=2^2+8^2+4*(2+8)*5/2=4+64+100=168 к задаче 15378

MEOW_LIN ✎ cos(pi/3)+sqrt(2)*sin(pi/4)=1/2+sqrt(2)*sqrt(2)/2=1/2+1=1,5 к задаче 15377

SOVA ✎ 1 cпособ. Применяем формулу Тейлора. см. приложение. f(x)=1/(x^2+3x+2) a=-4 f(-4)=1/6 f`(x)=-(2x+3)/(x^2+3x+2)^2; f`(-4)=-(-8+3)/6^2=5/36 f``(x)=-(2*(x^2+3x+2)^2-2(x^2+3x+2)*(2x+3)*(2x+3))/(x^2+3x+2)^4= =(6x^2+18x+14)/(x^2+3x+2)^3 f``(-4)=38/216 ... Подставляем найденные значения коэффициентов Тейлора в формулу. Получим ответ ( см. приложение) 2 способ. Известно разложение функции f(x)=1/(1-x) в ряд: 1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n)+..., которое при |x| < 1 представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ряд сходится для всех х, |x| < 1 Данная функция представима в виде разности двух дробей: 1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x)) Разложим 1/(1+х)=1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+... Ряд сходится при |x| < 1 1/(2+x)=(1/2)*(1/(1+(x/2)))= =(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...) Ряд сходится при всех |x/2| < 1 или |x| < 2 Тогда 1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x))= =(1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+...)+ +(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...)= (1+(1/2))-(1+(1/4))x+(1+(1/8))x^3+... ...+ (-1)^n(1+(1/2^(n+1))x^n+... Ряд сходится как разность двух сходящихся рядов на пересечении областей сходимсти двух рядов, а это значит на множестве (-1;1) к задаче 15369

MEOW_LIN ✎ 1) 0,86/2,15=0,4 2) 6+3/100+6/1000=6+0,03+0,006=6,036 к задаче 15375

SOVA ✎ Применяем формулу: sin^3x=(1/4)*(3sinx-sin3x)=(3/4)sinx-(1/4)sin3x Так как sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+... ...+ (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! + ... Ряд сходится на (-бесконечность; + бесконечность) Тогда sin3x=(3x)-((3x)^3/3!)+((3x)^5/5!)-((3x)^7/7!)+... ... + (-1)^(n-1)*(3x)^(2n-1)/(2n-1)! + ... Ряд сходится на (-бесконечность; + бесконечность) sin^3x=(3/4)*(x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+... ... + (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! + ...)- -(1/4)*((3x)-((3x)^3/3!)+((3x)^5/5!)-((3x)^7/7!)+... ...+ (-1)^(n-1)*(3x)^(2n-1)/(2n-1)! + ...)= =(3/4)x-(3/4)x +((-3x^3)/(4*3!)+(3^3x^3)/(4*3!))+ +((3x^5)/(4*5!)-(3^5x^5)/(4*5!))+... ...+(-1)^(2n-1)(3-3^(2n-1))x^(2n-1)/4*(2n-1)!+ ... = cм. приложение. Ряд сходится на ( - бесконечность; + бесконечность) как разность двух сходящихся рядов. к задаче 15371