Задача 10291 Какое наибольшее значение может...

slava191

10 января 2016 г. в 00:00

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:

{tgx = (20/9)cosy
{tgy = (20/9)cosz
{tgz = (20/9)cosx

SOVA

11 ноября 2016 г. в 00:00

★

Перепишем систему в виде:
{sinx=(20/9)cosx·cosy
{siny=(20/9)cosy·cosz
{sinz=(20/9)cosx·cosz

Возведем в квадрат:
{sin²x=(400/81)cos²x·cos²y
{sin²y=(400/81)cos²y·cos²z
{sin²z=(400/81)cos²x·cos²z

Заменим sin²x=1–cos²x и для упрощения записей введем обозначения
cos²x=t, t > 0 ; cos²y=u, u > 0; cos²z=v, V > 0.
Cистема принимает вид:
{1–t=(400/81)ut; ⇒{t=81/(400u+81);
{1–u=(400/81)uv; ⇒{u=81/(400v+81);⇒ v=(81–81u)/400u
{1–v=(400/81)vt. ⇒{v=81/(400t+81).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(81–81u)/400u=81/(400·(81/(400u+81)+81);
400u²+81u–81=0
D=81²+4·400·81=81·(81+1600)=81·1681=(9·41)²=
=(369)²
u=(–81+369)/800=0,36 второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию

t=81/(400·0,36+81)=81/(144+81)=81/225=0,36

v=(81–81·0,36)/(400·0,36)=0,36

Итак,
сosx=±0,6; cosy=±0,6; cosz=±0,6;
sinx=±0,8; siny=±0,8; sinz=±0,8.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx·cosy·cosz+cosx·siny·cosz+cosx·cosy·sinz–sinx·siny·sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±0,8)·(±0,6)·(±0,6)+0,8·(±0,6)·(±0,6)+(±0,8)·(±0,6)·(±0,6)–(±0,8)·(±0,8)·(±0,8)|=
=|0,8·(0,36–0,36+0,36+0,64)|=0,8