ЗАДАЧА 10289

УСЛОВИЕ:

Две окружности ω и Ω радиусов R=13.25 и r=9 касаются внутренним образом. Хорда AB окружности Ω касается окружности ω в точке C. Найдите длину хорды AB, если известно, что AC:BC=1:2.

Показать решение

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Окружности касаются внутренним образом. Ни одна из хорд меньшей окружности не может быть касательной к большей окружности.
Пусть хорда АВ окружности радиуса 13,25 касается окружности радиуса 9 в точке С.
См. рисунок.
ОС=ОМ=ОТ=9 - радиус меньшей окружности.
РМ=PN=PB=13,25 - радиус большей окружности.
РО=РМ-ОМ=13,25-9=4,25
Проведем РК⊥АВ.
РК- часть диаметра окружности радиуса 13,25.
Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2.
АВ=АС+СВ=х+2х=3х.
Значит АК=КВ=1,5х;
СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х.
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РК^2=PB^2-KB^2
PK^2=(13,25)^2-(1,5x)^2
Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР.
Проведем высоту РЕ.
Из прямоугольного треугольника ОЕР:
ОЕ^2+PE^2=OP^2
РЕ=КС=0,5х
EC=PK=√((13,25)^2-(1,5x)^2)
ОЕ=9-√((13,25)^2-(1,5x)^2)
(9-√((13,25)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=(4,25)^2;

81-18√((13,25)^2-(1,5x)^2)+(13,25)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=(4,25)^2.
или
18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=81+(13,25)^2-(4,25)^2-2x^2;
18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=81+17,5•9-2x^2;
18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=9•26,5-2x^2.
Возводим в квадрат:
4х^4-225x^2=0
x^2(4x^2-225)=0
x^2=225/4;
x=15/2=7,5.
AB=3x=22,5.
О т в е т. АВ=22,5.

ЕСТЬ ВОПРОСЫ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
Сначала регистрация
Сначала регистрация
у вас тут опечатка? Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР. Проведем высоту РЕ. Из прямоугольного треугольника МЕР: МЕ2+PE2=OP2 РЕ=КС=0,5х EC=PK=√((13,25)2–(1,5x)2) МЕ=9–√((13,25)2–(1,5x)2) ответить
Сначала регистрация
Да, описка.Из прямоугольного треугольника ОЕР: ОЕ2+PE2=OP2 ОЕ=9–√((13,25)2–(1,5x)2)

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 2989 ⌚ 01.10.2016. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Сначала регистрация
Лучший ответ к заданию выводится как основной

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

SOVA ✎ 1. Пусть один катет а=5 , второй катет b=12, тогда по теореме Пифагора с=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(5^2+12^2)=sqrt(25=144)=sqrt(169)= =13. S(полн.)=2S(осн.)+S(бок.)=2*(1/2)a*b+P(осн.)*H= =2*(1/2)*5*12+(5+12+13)*8=60+240=300 2.Пусть сторона верхнего основания равна а, нижнего b. Тогда S(полн.)=S1(осн.)+S2(осн.)+S(бок.)= =a^2+b^2+4S(трапеции)= =a^2+b^2+4*(a+b)*h/2 h-апофема боковой грани. По теореме Пифагора h^2=H^2+((b-a)/2))^2=4^2+(4-1)^2=16+9=25 h=5 (см. рис.) S(полн.)=2^2+8^2+4*(2+8)*5/2=4+64+100=168 к задаче 15378

MEOW_LIN ✎ cos(pi/3)+sqrt(2)*sin(pi/4)=1/2+sqrt(2)*sqrt(2)/2=1/2+1=1,5 к задаче 15377

SOVA ✎ 1 cпособ. Применяем формулу Тейлора. см. приложение. f(x)=1/(x^2+3x+2) a=-4 f(-4)=1/6 f`(x)=-(2x+3)/(x^2+3x+2)^2; f`(-4)=-(-8+3)/6^2=5/36 f``(x)=-(2*(x^2+3x+2)^2-2(x^2+3x+2)*(2x+3)*(2x+3))/(x^2+3x+2)^4= =(6x^2+18x+14)/(x^2+3x+2)^3 f``(-4)=38/216 ... Подставляем найденные значения коэффициентов Тейлора в формулу. Получим ответ ( см. приложение) 2 способ. Известно разложение функции f(x)=1/(1-x) в ряд: 1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n)+..., которое при |x| < 1 представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ряд сходится для всех х, |x| < 1 Данная функция представима в виде разности двух дробей: 1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x)) Разложим 1/(1+х)=1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+... Ряд сходится при |x| < 1 1/(2+x)=(1/2)*(1/(1+(x/2)))= =(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...) Ряд сходится при всех |x/2| < 1 или |x| < 2 Тогда 1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x))= =(1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+...)+ +(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...)= (1+(1/2))-(1+(1/4))x+(1+(1/8))x^3+... ...+ (-1)^n(1+(1/2^(n+1))x^n+... Ряд сходится как разность двух сходящихся рядов на пересечении областей сходимсти двух рядов, а это значит на множестве (-1;1) к задаче 15369

MEOW_LIN ✎ 1) 0,86/2,15=0,4 2) 6+3/100+6/1000=6+0,03+0,006=6,036 к задаче 15375

SOVA ✎ Применяем формулу: sin^3x=(1/4)*(3sinx-sin3x)=(3/4)sinx-(1/4)sin3x Так как sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+... ...+ (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! + ... Ряд сходится на (-бесконечность; + бесконечность) Тогда sin3x=(3x)-((3x)^3/3!)+((3x)^5/5!)-((3x)^7/7!)+... ... + (-1)^(n-1)*(3x)^(2n-1)/(2n-1)! + ... Ряд сходится на (-бесконечность; + бесконечность) sin^3x=(3/4)*(x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+... ... + (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! + ...)- -(1/4)*((3x)-((3x)^3/3!)+((3x)^5/5!)-((3x)^7/7!)+... ...+ (-1)^(n-1)*(3x)^(2n-1)/(2n-1)! + ...)= =(3/4)x-(3/4)x +((-3x^3)/(4*3!)+(3^3x^3)/(4*3!))+ +((3x^5)/(4*5!)-(3^5x^5)/(4*5!))+... ...+(-1)^(2n-1)(3-3^(2n-1))x^(2n-1)/4*(2n-1)!+ ... = cм. приложение. Ряд сходится на ( - бесконечность; + бесконечность) как разность двух сходящихся рядов. к задаче 15371