Задача 10288 Даны парабола y=10x^2 и прямая y=x-0.2 ....

slava191

10 января 2016 г. в 00:00

Даны парабола y=10x² и прямая y=x–0.2 . Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?

SOVA

10 марта 2016 г. в 00:00

★

Cм. рисунок.
Пусть точки А(х_А;у_А) и В(х_В;у_В) лежат на параболе, а точки С и D на прямой у=х–0,2.
Противоположные стороны квадрата параллельны.Значит,
точки А и В лежат на прямой АВ, параллельной прямой у=х–0,2.
Пусть это прямая у=х+m.
Значит, у_А=х_А+m; y_B=x_B+m
Расстояние между точками А и В
d²=(x_B–x_A)²+(y_B–y_A)²=
= (x_B–x_A)²+(x_B–m–y_A+m)²=
=2• (x_B–x_A)².
Рассмотрим прямоугольный треугольник РКЕ, PK⊥CD.
Р–точка пересечения прямой у=х+m c осью ОУ.
Р(0;m)
Е– точка пересечения прямой у=х–0,2 с осью ОУ.
Е(0;–0,2)
РЕ=m+0,2
Прямые у=х+m и у=х–0,2 образуют с осью Ох угол 45°, а значит и с осью Оу – 45°.
РК=ВС=d=(m+0,2)•sin45°=(m+0,2)/√2.
d²=(m+0,2)²/2.
Все стороны квадрата равны.
АВ=ВС, но ВС=РК, значит
AB=PK. Получаем уравнение
(m+0,2)²/2=2•(x_B–x_A)².
–––––––––––––––––––––––––––––
Так как точки А и В лежат на параболе, то
у_А=10х²_А; у_В=10х²_В
и на прямой, то
m=10х²_B–x_B=10х²_А–х_А или
10х²_А–х_А=10х²_B–x_B.
Откуда х_А+х_В=0,1.
–––––––––––––
4•(2х_В–0,1)²=(10x²_B–x_B+0,2)²
Упрощаем
100х⁴_B–20x³_B–11x²_B+1,2x_B=0
(x_B–0,1)(10x_B–4)(10x_B+3)=0
при x_B=0,4 и х=–0,3 получим наибольшее значение
d²=2•(2х_В–0,1)²=2•(2•0,4–0,1)²=2•0,7²=0,98
d²=2•(2х_В–0,1)²=
=2•(2•(–0,3)–0,1)²=2•(–0,7)²=0,98
S=d²=0,98.