Задача 10285 Известно, что для положительных чисел a,...

slava191

01.10.2016

Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений

ax^2+10bx+c=0
bx^2+10cx+a=0
cx^2+10ax+b=0

имеет хотя бы один действительный корень.

Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 7? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

SOVA

15.11.2016

Так как каждое уравнение имеет корни, то дискриминанты уравнений неотрицательны.
100b^2-4ac больше или равно 0;
100с^2-4ab больше или равно 0;
100a^2-4bc больше или равно 0.

По условию произведение корней первого уравнения равно 7.
По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно с/а.
с/а=7
с=7а
Тогда
100b^2-4a*7a больше или равно 0:
4900a^2-4ab больше или равно 0;
100a^2-4b*7a больше или равно 0;

По условию коэффициенты a,b,c положительные
a/b меньше или равно 10/2sqrt(7);
a/b больше или равно 4/4900
a/b больше или равно 28/100

Произведение корней второго уравнения по теореме Виета равно a/b
Из неравенств для a/b получаем, наименьшее значение произведения корней второго уравнения равно 28/100=7/25