Задача 10285 Известно, что для положительных чисел a,...

slava191

10 января 2016 г. в 00:00

Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений

ax²+10bx+c=0
bx²+10cx+a=0
cx²+10ax+b=0

имеет хотя бы один действительный корень.

Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 7? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

SOVA

15 ноября 2016 г.

Так как каждое уравнение имеет корни, то дискриминанты уравнений неотрицательны.
100b²–4ac ≥ 0;
100с²–4ab ≥ 0;
100a²–4bc ≥ 0.

По условию произведение корней первого уравнения равно 7.
По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно с/а.
с/а=7
с=7а
Тогда
100b²–4a·7a ≥ 0:
4900a²–4ab ≥ 0;
100a²–4b·7a ≥ 0;

По условию коэффициенты a,b,c положительные
a/b ≤ 10/2√7;
a/b ≥ 4/4900
a/b ≥ 28/100

Произведение корней второго уравнения по теореме Виета равно a/b
Из неравенств для a/b получаем, наименьшее значение произведения корней второго уравнения равно 28/100=7/25