Задача 10284 Найдите наименьшее натуральное a такое,...

slava191

10 января 2016 г. в 00:00

Найдите наименьшее натуральное a такое, что выражение a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64) делится на 10⁷

SOVA

10 января 2016 г. в 00:00

★

10⁷=2⁷•5⁷
Значит, а – четное
Пусть а=2n
а(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)=
=2n(2n+16)(2n+32)(2n+48)(2n+64)=
=2⁵•n(n+8)(n+16)(n+24)(n+32) – не кратно 2⁷
Поэтому пусть а=4n
а(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)=
=4n(4n+16)(4n+32)(4n+48)(4n+64)=
=4⁵•n(n+4)(n+8)(n+12)(n+16)– кратно 4⁵=2¹0
Произведение n(n+4)(n+8)(n+12)(n+16) должно быть кратно 5⁷
значит, наибольший множитель (n+16) кратен 5⁷
n=5⁷–16=78125–16=78109
a=4n=4•78109=312436

а(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)=312436•312452•312468•312484•312500– кратно 10⁷

О т в е т. а=312436