По определению корня √а+1 > =0, значит а > =-1, следовательно, имеем два случая: а=-1; а > -1.
1) а=-1:
Т. к. sin^2(3x)=1-cos^2(3x) значит
у= 1-2cos3x/2-cos^2(3x)
Сделаем замену cos3x=t:
у=1-2t/2-t^2
Т. к. множество значений содержит отрезок [2;3], значит у=2 или у=3. Подставляем:
2=1-2t/2-t^2
D=28
t1=1,8... не подходит по определению косинуса сos3x от -1 до 1
t2=-0,8.. подходит
3=1-2t/2-t^2
D=64
t1=1,...не подходит
t2=-1 подходит
2) а > -1 например а=0:
у=2-2cos3x/5-cos^2(3x)
cos3x=t
y=2-2t/5-t^2
2=2-2t/5-t^2
D= 68
t1=2,...не подходит
t2= 1,...не подходит
3=2-2t/5-t^2
D=160
t1=2,...не подходит
t2=1,...не подходит
Значит, при а=-1 отрезок [2;3] удовлетворяет функции
При а > -1 отрезок не удовлетворяет функции.
Ответ: а=-1