Задача 65274 ...
Условие
Решение
Устраняем неопределенность, записываем произведение 3x * sin(1/2x) в виде дроби
[m]lim_{x → ∞ } \frac{sin\frac{1}{2x}}{\frac{1}{3x}}=[/m]
Так как
[m]lim_{x → ∞ }\frac{sin\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}}=1[/m] согласно первого замечательного предела,
Обозначим
[m]\frac{1}{2x}=t[/m]; [m]t → 0[/m]
[m]lim_{t → 0 }\frac{sint}{t}=1[/m]
Умножим и разделим на [m]{\frac{1}{2x}}[/m] и поменяем знаменатели дробей:
[m]lim_{x → ∞ } \frac{sin\frac{1}{2x}}{\frac{1}{3x}}\cdot \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}}=lim_{x → ∞ }\frac{sin\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}}\cdot \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{3x}}=1\cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}[/m]