Задача 53584 Найдите неопределённый интеграл...

5f3ead43faf909182968ddf9

23.09.2020 18:37:18

Найдите неопределённый интеграл следующих функцпй(№ 1, 2, 3, 4, 5).

№1 - метод замены

№2 - метод замены

№3 - метод интегрирования по частям

№4, 5 - метод интегрирования по частям дважды

Вариант-1

1. у=х(4х-3)^5

2. у = xsqrt(x-6)
3. у = (х -7)sin 5x

4. у = (х^2+3)cosx

5. у = х^2 sin 4х

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.09.2020 20:01:48

1.
4x-3=t
4x=t+3
x=(t+3)/4
dx=(1/4)dt

∫ x(4x-3)^5dx=∫((t+3)/4)* t^5 * (1/4) dt=(1/4) ∫(t+3)*t^5dt=

=(1/16)∫(t^6+3*t^5)dt=(1/16)∫t^6dt+(3/16)∫t^5dt=

=(1/16)*(t^7/7)+(3/16)*(t^6/6) + C=

=(1/112)*(4x-3)^7+(1/96)(4x-3)^6 + C

2.
sqrt(x-6)=t
x-6=t^2
x=t^2+6
dx=2tdt

∫ x sqrt(x-6)dx= ∫(t^2+6)*t*2tdt=2∫(t^4+6t^2)dt=2∫t^4dt+12∫t^2dt=

=2*(t^5/5) +12*(t^3/3) + C=

=(2/5)*(sqrt(x-6))^5+4(sqrt(x-6))^3+C=

=(2/5)*(x-6)^2*sqrt(x-6)+4*(x-6)*sqrt(x-6) + C


3.
u=x-7
dv=sin5x dx

du=dx
v= ∫sin5xdx= ∫sin5x*(1/5)d(5x)=(1/5) ∫sin[b]5x[/b] d([b]5x[/b])=(1/5) (-cos[b]5x[/b])

∫ (x-7)sin5xdx=(x-7)*(1/5)(-cos5x)- ∫ (1/5)*(-cos5x)dx=-(1/5)(x-7)*cos5x+(1/5) ∫ cos5xdx=

=-(1/5)(x-7)*cos5x+(1/5)*(1/5)sin5x+C=-(1/5)(x-7)*cos5x+(1/25)sin5x+C;

4.
u=x^2+3
dv=cosx dx

du=2xdx
v=sinx

∫ (x^2+3)cosx dx=(x^2+3)*cosx- ∫ 2x*sinx dx=(x^2+3)*cosx- [b]2[/b]∫ x*sinx dx=

второй интеграл считаем по частям:
u=x
dv=sinx dx

du=dx
v= ∫sinxdx=-сosx

=(x^2+3)*cosx-[b]2[/b]*(x*(-cosx)-∫(-cosx)dx)=(x^2+3)*cosx+[b]2[/b]*x*cosx)-[b]2[/b]∫cosxdx=(x^2+3)*cosx+2*x*cosx-2sinx+C

5.

u=x^2
dv=sin4x dx

du=2xdx
v= ∫sin4x dx=(1/4)*(-cos 4x)

∫ x^2 sin4x dx=x^2*(1/4)*(-cos4x) - ∫(1/4)* (-cos4x)*(2x*dx)=-(x^2/4)*cos4x+(1/2)∫x*cos4xdx

второй интеграл считаем по частям:
u=x
dv=cos4x dx

du=dx
v= ∫cos4xdx=(1/4)*(sin4x)

=-(x^2/4)*(cos4x) +([b]1/2)[/b] * ((1/4)*x*sin4x- ∫(1/4)sin4x dx)=

=-(x^2/4)*(cos4x) +(1/8)*x*sin4x-(1/8)*(1/4) (-cos4x)+C=

=-(x^2/4)*(cos4x) +(1/8)*x*sin4x+(1/32)*cos4x+C