Наталья_53484173

Дано: DABC - тетраэдр; DC ⊥ (ABC);
DC = 1 см; CA = CB = sqrt(2); ∠ ACB = 90 °
Найти: ∠ (ABD; ACD)
Решение:
1) CD ⊥ (ABC); BC ⊂ (ABC)

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ BC ⊥ CD
ВС ⊥ СА
АС ⊂ (ACD); CD ⊂ (ACD); AC ∩ CD = C

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
⇒ ВС ⊥ (ACD) ⇒ ΔADC - ортогональная проекция ΔADB

2) Найдем площади ΔADC и ΔADB
[m]S(ACD)=\frac{1}{2} \cdot \sqrt2 \cdot1=\frac{\sqrt2}{2}[/m] (кв.см)
ΔABC - равнобедренный, прямоугольный
По теореме Пифагора:
АВ =[m] \sqrt(2+2) [/m]= 2 (cм)
СН - высота, медиана ⇒ СН = 1 см
DC ⊥ (ABC) ⇒ CH - проекция DH на (АВС) ⇒ DH ⊥ AB (теорема о трех перпендикулярах)
По теореме Пифагора для ΔHDC:
DH = [m]\sqrt{(1+1)}[/m]= [m]\sqrt2[/m] (см)
[m]S(ADB)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot1 = \sqrt2[/m](кв.см)

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Пусть ∠ (ABD; ACD) = α
S(ADC) = [m]S(ADB)\cdot cos α[/m]
[m]cos α =\frac{\sqrt2}{2\cdot \sqrt2}=\frac{1}{2}[/m]
⇒ α =60 °

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед;
К ∈ В1С1; В1К = КС1;
АВ = 11; AD = 4sqrt(11); АА1 = 3sqrt(22)
Найти: d(A1; CDK)
Решение:
Проведем А1М ⊥ DE
● Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.
Докажем, что А1М ⊥ (СDK)
● Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
DC ⊥ (ADD1) (ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед)
A1M ⊂ (ADD1)
● Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ CD ⊥ A1M
CD ⊂ (CDK), DE ⊂ (CDK), CD ∩ ED = D ⇒ A1M ⊥ (CDK) ⇒ A1M = d(A1; CDK)

ΔA1ME~ ΔDD1E (прямоугольные; ∠ А1ЕМ = ∠ D1ED - вертикальные)
[m]\frac{A1M}{DD1}=\frac{A1E}{ED} [/m]
D1D = 3sqrt(22); A1E = 2sqrt(11)
По теореме Пифагора для ΔED1D
ED^(2)=ED1^(2)+DD1^(2)=44+198 = 242 ⇒ ED = 11sqrt(2)
[m]\frac{A1M}{3\sqrt{22}}=\frac{2\sqrt{11}}{11\sqrt{2}} [/m]
[m]A1M=\frac{3\sqrt{22}\cdot 2\sqrt{11}}{11\sqrt{2}}=6[/m]

Ответ: 6

CC1 ⊂ (DCC1); FD ∩ (DCC1)=D; D ∉ CC1;
⇒ CC1 и DF - скрещивающиеся прямые;
СС1 || DD1 ⇒ ∠ (CC1; FD) = ∠ FDD1
По теореме Пифагора для Δ А1FD1:
[m]FD1^2=A1F^2+A1D1^2=9+9=18[/m] ⇒ FD1=[m]3\sqrt{2}[/m]
tg ∠ FDD1 = FD1/DD1 = [m]3\sqrt{2}/4\sqrt{2}=3/4[/m]

1.K ∈ (ADD1); F ∈ (ADD1) ⇒ KF
2.F ∈ (DCC1); P ∈ (DCC1) ⇒ FP
3.(ADD1) || (BCC1)
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
⇒ PN || FK
4.PN ∩ BB1 = N
5.N ∈ (ABB1), K ∈ (ABB1) ⇒ NK
Построили сечение KNPF

1.∠ А = ∠ С ⇒ Δ АВС - равнобедренный.
ВН - медиана, высота биссектриса ⇒ ∠ АВН = ∠ СВН
Δ ЕВН и Δ FBH - прямоугольные
ВН - общая, ∠ АВН = ∠ СВН ⇒ Δ ЕВН = Δ FBH (по гипотенузе и острому углу)

2.Проведем СЕ || AB || DE
∠ BCE = 180 ° - 140 ° = 40 ° (односторонние при BA||CE и секущей СВ)
∠ DCE = 180 ° -130 ° = 50 ° (односторонние при DE||CE и секущей СD)
⇒ ∠ C=40 ° +50 ° = 90 ° ⇒ BC ⊥ DC

3.MT ⊥ AB - расстояние от М до АВ
Δ АВС - равносторонний. ВМ - биссектриса, высота, медиана.
⇒ ∠ АВМ = ∠ СВМ = 30 °
Δ МТВ - прямоугольный ⇒ МТ = 30 : 2 = 15 (катет против ∠ 30 ° )

4.Δ DKH = Δ FLP (прямоугольняе, по катету и острому углу)
⇒ ∠ D = ∠ F (соответственные элементы)
⇒ Δ DEF - равнобедренный ⇒ DE = EF

5.Δ АВС - равнобедренный.
ВМ - биссектриса, высота
∠ КОВ = ∠ МОС = 78 ° (вертикальные)
∠ ОСМ = 90 ° -78 ° = 12 ° (сумма острых углов прямоугольного треугольника)
∠ ОСМ = ∠ ОСВ = 12 ° (СК - биссектриса) ⇒ ∠ А = ∠ С = 12 ° +12 ° = 24 °
∠ В = 180 ° - 24 ° - 24 ° = 132 ° (сумма углов треугольника)

6.Дан Δ QRS
Обозначим точку А и проведем луч АЕ
Построим ∠ А = ∠ Q
Проведем дугу произвольным радиусом QH до пересечения с QR. Из точки А проведем дугу тем же радиусом. Пересечение дуги с АЕ обозначим М.
Из точки М проведем дугу радиуса r. Пересечение дуг обозначим Р.
Соединим А и Р и на данном луче отложим АВ = QR.
На луче АЕ отложим АО = QS.
Разделим АО пополам.
Из точек А и О проведем равные дуги больше середина АО по обе стороны от отрезка АО. Пересечения дуг обозначим Т и N. Соединим эти точки. TN пересекает АО в точке С. С - середина отрезка АО.
Получили искомый ΔАВС.

Дано: цилиндр;
ABCD - сечение; ABCD || EO;
DC = 3; R = OA = sqrt(113); OH ⊥ AD; OH = 7
Найти: S(ABCD)
Решение:
По теореме Пифагора для Δ АОН :
АН^2=OA^2 - OH^2 = 113 - 49 = 64 ⇒ AH = 8
ΔAOD - равнобедренный ⇒ ОН - высота, медиана.
⇒ AD = 16
S(ABCD) = [m]AD \cdot DC = 16 \cdot 3 = 48[/m]

...если в посёлок С грузовик и мотоцикл прибыли в одно и то же время...
Значит С – место встречи, то есть время грузовика и мотоциклиста одинаково.

...скорость мотоцикла в два раза больше скорости грузовика...
Значит мотоциклист проехал расстояние вдвое больше, чем грузовик.
Расстояние ВС равно:
38⋅2=76 (км)

А расстояние АВ:
38 + 76 = 114 (км)

1.Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести единственную плоскость. Если точка принадлежит прямой, то таких плоскостей можно провести бесконечное множество. ⇒ 1) Бесконечное количество; 2) Одну.

2.[b]1) CD и ВС[/b]
CD ⊂ (ABC); BC ⊂ (ABC); CD ⊥ BC → ∠ (CD; BC) = 90 °
[b]2) AA1 и C1D1[/b]
AA1 ⊂ (ADD1); C1D1 ∩ (ADD1) = D1; D1 ∉ AA1 ⇒ AA1 и С1D1 - скрещивающиеся прямые.
D1C1 || A1B1 ⇒ ∠ (AA1; C1D1)= ∠ (AA1;A1B1) = ∠ AA1B1 = 90 °
[b]3) AA1 и D1C[/b]
AA1 ⊂ (ADD1); D1C ∩ (ADD1) = D1; D1 ∉ AA1 ⇒ AA1 и D1C - скрещивающиеся прямые.
BA1 || CD1 ⇒ ∠ (AA1; D1C)= ∠ (AA1;BA1) = ∠ AA1B1 = 45 °
[b]4) АС и B1D1[/b]
AC ⊂ (ACC1); B1D1 ∩ (ACC1) = O1; O1 ∉ AC ⇒ AC и B1D1 - скрещивающиеся прямые.
B1D1 || BD ⇒ ∠ (AC; B1D1)= ∠ (AC;BD) = 90 ° (диагонали квадрата)
[b]5) А1С1 и АС[/b]
А1С1 ⊂ (АСС1); АС ⊂ АСС1; (АВС) || (A1B1C1)
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
⇒ A1C1 || AC ⇒ ∠ (A1C1; AC) = 0

3.MK ⊂ (ADB) ; EF ∩ (ADB)=E; E ∉ (MK) ⇒ MK и EF - скрещивающиеся прямые.
МК - средняя линия Δ ADB (по определению) ⇒ МК || AB
∠ (MK; EF) = ∠ (AB; EF) = ∠ BEF
EF - средняя линия Δ АВС ⇒ EF || AC
∠ BAC = ∠ BEF = α (соответственные при EF || AC и секущей АВ0

Дано: МАВС - пирамида; ΔАВС - равносторонний, АН ∩ ВЕ ∩ СD = О - медианы;
АВ = 3; МА = МВ = МС = 2.
Доказать: ОМ ⊥ (АВС); Найти: ОМ

Решение:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
1.Δ АВС - равносторонний;
АН; ВЕ; CD - медианы, высоты
2.Δ СМВ - равнобедренный;
МН - медиана, высота.
3.АН ⊥ СВ, МН ⊥ СВ, АН ⊂ (АМН), МН ⊂ (АМН), АН ∩ МН = Н ⇒ СВ ⊥ (АМН)
МО ⊂ (АМН)
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ МО ⊥ СВ
4.Аналогично:
ВЕ ⊥ АС, МЕ ⊥ АС,BE ⊂ (EMB),ME ⊂ (EMB),ME ∩ EB = E ⇒ AC ⊥ (EMB) ⇒ AC ⊥ MO
5.MO ⊥ AC; MO ⊥ CB; AC ⊂ (ABC); CB ⊂ (ABC); AC ∩ CB = C ⇒ MO ⊥ (ABC)
6.[m]AH=AC\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m]
⇒ [m]AO=\frac{3\sqrt{3}\cdot2}{2\cdot3}=\sqrt{3}[/m] (свойство медиан)
7.По теореме Пифагора для ΔАМО:
[m]MO=\sqrt{4-3}=1[/m]

Если прямая и плоскость пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Е ∈ (АМС); F ∈ (AMC) ⇒ EF
EF ∩ MC = K;
K ∈ EF; K ∈ MC; MC ⊂ (MВC) ⇒ K ∈ (МВC)
K - точка пересечения EF и (МВС)

[m]y=2^{x+3}-3[/m]
Сначала построим график [m]y=2^x[/m]
• показательная функция, график - экспонента.
[m]2^x>0[/m] ⇒ график расположен выше оси Ох.
Строим график.
График [m]y=2^{x+3}[/m] получим смещением графика [m]y=2^x[/m] влево вдоль оси Ох на 3 единицы.
График [m]y=2^{x+3}-3[/m] получим смещением графика [m]y=2^{x+3}[/m] вниз вдоль оси Оу на 3 единицы.