Нейро

Пусть  
A = ⎡2  1   −1⎤ , 
   ⎢2 −1  1⎥ ,
   ⎣1  0   1⎦

B = ⎡3  6  0⎤ , 
   ⎢2  4 − 6⎥ ,
   ⎣1 − 2  3⎦ .

Задано найти
а) AB б) BA в) A⁻¹ г) AA⁻¹ д) A⁻¹A.

───────────────────────────────────────
1.Произведение AB

AB = A·B.

• 1-я строка A на столбцы B
(2,1,−1)·(3,2,1) = 7
(2,1,−1)·(6,4,−2) = 18
(2,1,−1)·(0,−6, 3) = −9

• 2-я строка A = (2,−1,1)
(2,−1,1)·(3,2,1) = 5
(2,−1,1)·(6,4,−2) = 6
(2,−1,1)·(0,−6, 3) = 9

• 3-я строка A = (1,0,1)
(1,0,1)·(3,2,1) = 4
(1,0,1)·(6,4,−2) = 4
(1,0,1)·(0,−6, 3) = 3

AB = ⎡7 18 −9⎤
   ⎢5  6  9⎥
   ⎣4  4  3⎦ .

───────────────────────────────────────
2.Произведение BA

BA = B·A.

• 1-я строка B = (3,6,0)
(3,6,0)·(2,2,1) = 18
(3,6,0)·(1,−1,0) = −3
(3,6,0)·(−1,1,1) = 3

• 2-я строка B = (2,4,−6)
(2,4,−6)·(2,2,1) = 6
(2,4,−6)·(1,−1,0) = −2
(2,4,−6)·(−1,1,1) = −4

• 3-я строка B = (1,−2,3)
(1,−2,3)·(2,2,1) = 1
(1,−2,3)·(1,−1,0) = 3
(1,−2,3)·(−1,1,1) = 0

BA = ⎡18 −3 3⎤
   ⎢ 6 −2 −4⎥
   ⎣ 1 3 0⎦ .

───────────────────────────────────────
3.Обратная матрица A⁻¹

а) Определитель A
|A| = 2·|−1 1; 0 1| − 1·|2 1; 1 1| + (−1)·|2 −1; 1 0|
   = 2(−1) − (2−1) − (−1)(1) = −2 −1 −1 = −4.

|A| ≠ 0 ⇒ A обратима.

б) Матрица алгебраических дополнений C
C = ⎡−1 −1  1⎤
  ⎢−1  3  1⎥
  ⎣ 0 −4 −4⎦ .

Adj A = Cᵀ = ⎡−1 −1 0⎤
       ⎢−1 3 −4⎥
       ⎣ 1 1 −4⎦ .

в) A⁻¹ = (1/|A|) Adj A = −¼ Adj A:

A⁻¹ = ⎡ 1/4  1/4  0 ⎤
   ⎢ 1/4 −3/4  1 ⎥
   ⎣−1/4 −1/4  1 ⎦ .

───────────────────────────────────────
4.Проверка AA⁻¹ и A⁻¹A

Перемножая A и A⁻¹ (или A⁻¹ и A) получаем

AA⁻¹ = A⁻¹A = I₃ =
⎡1 0 0⎤
⎢0 1 0⎥
⎣0 0 1⎦ .

(Подробные умножения показаны для первой строки; остальные аналогичны.)

───────────────────────────────────────
Итоговые ответы

a) AB = ⎡7 18 −9⎤
     ⎢5  6  9⎥
     ⎣4  4  3⎦ ;

б) BA = ⎡18 −3 3⎤
     ⎢ 6 −2 −4⎥
     ⎣ 1 3 0⎦ ;

в) A⁻¹ = ⎡ 1/4  1/4  0 ⎤
     ⎢ 1/4 −3/4  1 ⎥
     ⎣−1/4 −1/4  1 ⎦ ;

г) AA⁻¹ = I₃ ; д) A⁻¹A = I₃ .

Рассмотрим уравнение

  z³ = 1.

1.Запишем число 1 в тригонометрической форме.
1 = 1·e^{i·0} = 1·e^{i(2πm)}, m ∈ ℤ.

2.Извлечём кубический корень в комплексной форме:
  z = (1·e^{i(2πm)})^{1/3} = 1^{1/3}·e^{i(2πm/3)} = e^{i(2πm/3)}, m = 0,1,2.
(m = 3,4,… даёт те же углы, так как период 2π.)

3.Подставляя m = 0,1,2, получаем три попарно различ­ных корня:

m = 0: z₀ = e^{i·0} = 1;

m = 1: z₁ = e^{i·2π/3} = cos120° + i sin120° = −½ + i√3/2;

m = 2: z₂ = e^{i·4π/3} = cos240° + i sin240° = −½ − i√3/2.

4.Геометрическая интерпретация.
• Все корни лежат на единичной окружности |z| = 1 (модуль равен 1).
• Их аргументы: 0°, 120°, 240°. Разность между соседними аргументами 120°, поэтому точки являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность.

5.Построение на комплексной плоскости.
– Точка 1: (1; 0) на положительной части действительной оси.
– Точка 2: (−½; √3/2) – вверх и влево.
– Точка 3: (−½; −√3/2) – вниз и влево.

Соединив их, получаем равносторонний треугольник с центром в начале координат и радиусом 1.

Ответ: корни z³ = 1 — это 1, (−1 + i√3)/2, (−1 − i√3)/2; на комплексной плоскости они образуют вершины равностороннего треугольника на единичной окружности.

Пусть точка O – точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть его центроид.
Для правильной треугольной пирамиды SABC вершина S лежит на перпендикуляре к плоскости основания, опущенном именно из этой точки O.
Следовательно, отрезок SO является высотой пирамиды.

1.Запишем формулу объёма пирамиды:
V = 1/3 · S_осн · h,

где S_осн – площадь основания, h – высота.

2.Подставим данные:
6 = 1/3 · 9 · h  ⇒  h = 6·3 / 9 = 2.

3.Поскольку h = SO, получаем

SO = 2.

Ответ: 2.

Найдём площадь каждой криволинейной трапеции как определённый интеграл
S = ∫a^b y(x) dx,
где a и b – абсциссы вертикальных границ (прямых х = const), а линией y = 0 служит нижняя граница.
Если на отрезке [a; b] график функции не пересекает ось Ox (y ≥ 0), то интеграл берём без модулей.

1.y = x + 2, x = 1, x = 3, y = 0
Функция положительна на [1; 3] (y(1)=3, y(3)=5).
S₁ = ∫₁³ (x + 2) dx = [x²/2 + 2x]₁³
= (9/2 + 6) – (1/2 + 2)
= 21/2 – 5/2 = 16/2 = 8.

2.y = x², x = 1, x = 3, y = 0
На [1; 3] y ≥ 0 (1 ≤ x² ≤ 9).
S₂ = ∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³
= 27/3 – 1/3 = 26/3 ≈ 8,67.

3.y = x² + 2, x = –2, x = 1, y = 0
x² + 2 ≥ 2 > 0, поэтому снова целиком над осью Ox.
S₃ = ∫{–2}^{1} (x² + 2) dx = [x³/3 + 2x]_{–2}^{1}
= (1/3 + 2) – (–8/3 – 4)
= 7/3 – (–20/3) = 27/3 = 9.

Ответ:
1) S = 8;
2) S = 26/3;
3) S = 9.

Дифференциальное уравнение

  y′ = x y³ (1)

относится к раздельным (separable) уравнениям.

1.Раз­де­лим пе­ре­мен­ные
  dy / y³ = x dx.

2.Проинтегрируем обе части

  ∫ y⁻³ dy = ∫ x dx
  − ½ y⁻² = ½ x² + C.

3.Удобнее умножить на −2 и переобозначить константу:
  y⁻² = −x² − 2C = A − x², A = −2C. (2)

4.Выразим y:
  1 / y² = A − x²  ⇔  y² = 1 / (A − x²)
  y(x) = ± 1 / √(A − x²). (3)

Это семейство интегральных кривых (общее решение) при условии A − x² > 0.
Также заметим, что y ≡ 0 удовлетворяет (1); это ещё одно (тривиальное) решение, не входящее в (3).

5.Частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1.
Подставляем x = 1, y = 1 в (2):

  1 / 1² = A − 1² ⇒ A − 1 = 1 ⇒ A = 2.

Из (3) берём положительную ветвь (так как y(1)=1>0):

  y(x) = 1 / √(2 − x²), |x| < √2. (4)

Итак

• Общее решение:
  y(x) = ± 1 / √(C − x²),  C ∈ ℝ, C − x² > 0,
  и, дополнительно, y(x) ≡ 0.

• Частное решение, удовлетворяющее условию y(1)=1:
  y(x) = 1 / √(2 − x²),  |x| < √2.

1.В таблице 2 ID 1044 указан как один из родителей ребёнка с ID 1130.
По таблице 1 под ID 1044 записан Рубако П.А. ⇒ ID 1130 – это ребёнок Рубако П.А.

2.Вторым родителем этого ребёнка (ID 1130) является человек с ID 985.

3.Смотрим, кто является родителями ID 985.
Из таблицы 2 видно, что у ID 985 два родителя: ID 940 и ID 941.
Следовательно, именно они – бабушка и дедушка ребёнка Рубако П.А.

4.Находим этих людей в таблице 1.

• ID 940 – Хоменко Г.Г., пол Ж.
• ID 941 – Васечкин Е.Ф., пол М.

5.Бабушка – это женщина, значит нужный нам ID 940.

Ответ: Хоменко Г.Г.

1.Перепишите, расставив знаки препинания и подчеркнув союзы
(в конце каждой строки указываем, что соединяет союз).

1) Часовой дошёл до угла и повернул обратно.
Гр. основы: (часовой) дошёл, повернул.
Союз и – соединяет однородные сказуемые.

2) Он сделал задания не только по физике, но и по литературе.
Одн. дополнения: по физике, по литературе.
Союзы не только … но и – соединяют однородные дополнения.

3) Надвинулась тяжёлая туча, и пошёл мелкий дождик.
ССП. Осн.: (туча) надвинулась // (дождик) пошёл.
Союз и – соединяет части сложносочинённого предложения.

4) Я вернулся домой, когда мама уже спала.
СПП (подчин. времени). Осн.: я вернулся // мама спала.
Союз когда – соединяет главное и придаточное предложение.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2.Раскройте скобки, определите разряд частиц
(если это смысловая частица – укажите её значение).

1) Вы бы в милицию всё-таки обратились. – частица бы, формообразующая (создаёт сослагательное/совет).
2) И тут-то я вижу всю его образованность как на ладони. – частица -то, уточнительно-выделительная (именно эта ситуация).
3) «Ладно, – отвечаю, – хорошо-с». – частица -с, вежливо-смягчительная.
4) Здесь ли проживает старый князь? – частица ли, вопросительная.
5) Ты же решил, ну и ступай. – частица же, усилительная (подчёркивает утверждение).
6) Как раз в это время проходил чемпионат мира. – частица как раз, уточнительная (именно).

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3.Частицы из текста (без повторов, не менее 5):
же, то, ли, да, вот, ну, ведь … (достаточно первых пяти).

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

4.Сопоставление написаний (А – слитно, Б – раздельно)
Ответ: А – 1 3 7; Б – 2 4 5 6
(1 тоже, 2 то есть, 3 зато, 4 что бы, 5 что бы, 6 то же, 7 чтобы).

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

5.Морфологический разбор выделенных слов
Пусть³ он сейчас же³ подойдёт ко мне!

пУсть – частица, формообразующая, побудительное значение (выражает приказ/пожелание); неизменяема, членом предложения не является.
же – частица, смысловая, усилительная (подчёркивает обстоятельство «сейчас»); неизменяема, членом предложения не является.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

6.Вставка пропущенных букв, раскрытие скобок

1) Ни́кто и ни́когда не возражал, не возражает и возражать не будет, что бы он ни говорил.
2) Настасья Ивановна была доброй женщиной, и она ни разу в жизни не делала никому зла.
3) Он никакого отношения ни к драматургии, ни к театрам никогда в жизни не имел, и Анна Ивановна не могла на это повлиять.
4) Сколько я ни раздумывал, последнего понять не мог.
5) Чего он только не видел в этой жизни!
6) Ни мусор, ни обломки досок – ничего решительно не убирали они, и мы не стали этого делать.

6.1 Номера предложений, где союз И соединяет части ССП: 2, 3, 6.

(В 1, 4, 5 «и» соединяет не основы, либо предложения бессоюзные.)

Решения приводятся подробно, чтобы было понятно, откуда берётся каждый шаг.
(В конце каждого пункта выделен ответ.)

──────────────────────────────────────────
1.(1 балл) Решить систему
{ 2x − 3y = 8,
3x + y = 1.

Из второго уравнения: y = 1 − 3x.
Подставляем в первое:

2x − 3(1 − 3x) = 8
2x − 3 + 9x = 8
11x = 11 ⇒ x = 1.

y = 1 − 3·1 = −2.

Ответ: (1; −2).

──────────────────────────────────────────
2.(1 балл) Решить уравнение 4x³ − 81x = 0.

Выносим x за скобку:
x(4x² − 81) = 0 ⇒

1) x = 0;
2) 4x² = 81 ⇒ x² = 81/4 = (9/2)² ⇒ x = ±9/2.

Ответ: 0; 9/2; −9/2.

──────────────────────────────────────────
3.(1 балл) Координаты точки пересечения графика x + 2y − 4 = 0
с прямой y = −2.

Подставляем y = −2:

x + 2(−2) − 4 = 0 ⇒ x − 4 − 4 = 0 ⇒ x = 8.

Ответ: (8; −2).

──────────────────────────────────────────
4.(1 балл) Точка пересечения
0,5x + 0,2y = 1,2, 0,3x − 0,1y = 0,5.

Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
5x + 2y = 12, 3x − y = 5.

Из второго: y = 3x − 5.
Подставим в первое:

5x + 2(3x − 5) = 12
5x + 6x − 10 = 12
11x = 22 ⇒ x = 2.

y = 3·2 − 5 = 1.

Ответ: (2; 1).

──────────────────────────────────────────
5.(1 балл) Система
{ 12 − 10(2x − 1) = −6(4y − 3),
0,4y + 0,6x = 4,6.

Первое уравнение:
12 − 20x + 10 = −24y + 18
22 − 20x = −24y + 18
20x − 24y = 4 ⇒ 5x − 6y = 1. (I)

Второе уравнение умножаем на 10: 4y + 6x = 46 ⇒ 3x + 2y = 23. (II)

Решаем (I) и (II):
(I) 5x − 6y = 1
(II) 3x + 2y = 23

Умножим (II) на 3: 9x + 6y = 69.
Сложим с (I): 14x = 70 ⇒ x = 5.

3·5 + 2y = 23 ⇒ 15 + 2y = 23 ⇒ y = 4.

Ответ: (5; 4).

──────────────────────────────────────────
6.(3 балла) Решить уравнения

6.1) x²(x − 5) − (x − 2)³ = x² − 4.

Раскрываем скобки:
x²(x − 5) = x³ − 5x²,
(x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8.

Подставляем:
(x³ − 5x²) − (x³ − 6x² + 12x − 8) = x² − 4
x³ − 5x² − x³ + 6x² − 12x + 8 = x² − 4
x² − 12x + 8 = x² − 4
−12x + 8 = −4 ⇒ −12x = −12 ⇒ x = 1.

Проверка даёт верно, других корней нет.

Ответ: x = 1.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6.2) |x + y − 5| + x² − 6xy + 9y² = 0.

Заметим, что x² − 6xy + 9y² = (x − 3y)² ≥ 0,
|x + y − 5| ≥ 0.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю
только тогда, когда каждое из них равно нулю:

|x + y − 5| = 0 ⇒ x + y − 5 = 0,
(x − 3y)² = 0 ⇒ x − 3y = 0.

Решаем систему:
x = 3y,
3y + y = 5 ⇒ 4y = 5 ⇒ y = 5/4.
x = 3·5/4 = 15/4.

Ответ: (15/4; 5/4).

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6.3) 7 − x + |x|·x = 7|x|.

Разбираем по знакам |x|.

а) x ≥ 0 ⇒ |x| = x:
7 − x + x·x = 7x
x² − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0 ⇒ x = 1 или x = 7 (оба подходят).

б) x < 0 ⇒ |x| = −x:
7 − x + x(−x) = 7(−x)
7 − x − x² = −7x
−x² + 6x + 7 = 0 ⇒ x² − 6x − 7 = 0
(x − 7)(x + 1) = 0.
Подходит только x = −1 (так как x < 0).

Ответ: −1; 1; 7.

──────────────────────────────────────────
Итоговые ответы

1) (1; −2)
2) 0; 9/2; −9/2
3) (8; −2)
4) (2; 1)
5) (5; 4)
6.1) 1
6.2) (15/4; 5/4)
6.3) −1; 1; 7

Найти массу кривой   C, заданной параметрами
 x(t)=ln(1+t²), y(t)=2 arctg t, 0≤t≤1,
если линейная плотность μ(x,y)=y/eˣ.

1.Элемент длины дуги
 dx/dt = 2t/(1+t²), dy/dt = 2/(1+t²)

 ds = √[(dx/dt)²+(dy/dt)²] dt
   = √[4t²/(1+t²)² + 4/(1+t²)²] dt
   = 2√(t²+1)/(1+t²) dt
   = 2/√(1+t²) dt.

2.Плотность вдоль кривой
 y(t)=2 arctg t, e^{−x(t)} = e^{−ln(1+t²)} = 1/(1+t²)

 μ(t)=y(t) e^{−x(t)} = 2 arctg t /(1+t²).

3.Масса кривой – криволинейный интеграл 1-го рода

 m = ∫C μ ds = ∫{0}^{1} μ(t) ds
   = ∫{0}^{1} 2 arctg t /(1+t²) · 2/√(1+t²) dt
   = 4 ∫{0}^{1} arctg t /(1+t²)^{3/2} dt.

4.Вычисление интеграла
Заменим t = tan θ (θ∈[0,π/4]):
 dt = sec²θ dθ, 1+t² = sec²θ, arctg t = θ

 I = ∫ arctg t /(1+t²)^{3/2} dt
   = ∫{0}^{π/4} θ·(sec²θ)/(sec³θ) dθ
   = ∫{0}^{π/4} θ cos θ dθ.

Интегрируем по частям:
 u=θ, dv=cos θ dθ ⟹ du=dθ, v=sin θ

 ∫ θ cos θ dθ = θ sin θ − ∫ sin θ dθ
   = θ sin θ + cos θ + C.

Подставляем пределы:
 I = [θ sin θ + cos θ]_{0}^{π/4}
   = (π/4)·sin(π/4) + cos(π/4) − 1
   = (π√2/8) + (√2/2) − 1
   = √2/8 (π+4) − 1.

5.Масса
 m = 4I = 4[√2/8 (π+4) − 1]
   = (√2/2)(π+4) − 4
   = (π+4)/√2 − 4.

Численно: m ≈ (7.1416)/1.4142 − 4 ≈ 1.05.

Ответ:
m = (π + 4)/√2 − 4 ≈ 1.05.

Ниже приведено готовое решение задачи на языке Python
(файл можно сохранить, например, под именем prod_less5.py).

# prod_less5.py
# Вводим 10 целых чисел, находим произведение тех,
# чьё абсолютное значение меньше 5

PRODUCT_INIT = 1          # начальное значение произведения
product = PRODUCT_INIT     # текущее произведение
found = False              # индикатор, что нужные числа встретились

print('Введите 10 целых чисел:')

for i in range(10):
    n = int(input(f'{i + 1}) '))
    if abs(n) < 5:         # проверяем условие |n| < 5
        product *= n
        found = True

if found:
    print('Произведение чисел, |n| < 5  =', product)
else:
    print('Числа, удовлетворяющие условию, отсутствуют')

Пояснения к работе программы
1.Инициализируем переменную product единицей (нейтральный элемент умножения).
2.Перебираем ровно 10 вводов for i in range(10).
3.Для каждого введённого числа проверяем условие abs(n) < 5.
• Если условие выполнено – включаем число в произведение (product *= n) и ставим флаг found = True.
4.После цикла анализируем флаг.
• found == True – выводим полученное произведение.
• found == False – выводим сообщение, что подходящих чисел нет.

Примеры запуска

(вариант, когда подходящие числа есть)

Введите 10 целых чисел:
1) 7
2) -3
3) 0
4) 8
5) 2
6) -9
7) 1
8) 5
9) 11
10) 4
Произведение чисел, |n| < 5 = 0

(вариант, когда подходящих чисел нет)

Введите 10 целых чисел:
1) 5
2) 6
3) 7
4) 8
5) 9
6) 10
7) -6
8) -7
9) -5
10) 12
Числа, удовлетворяющие условию, отсутствуют

Сохраните файл и запустите его в среде Python (IDLE, PyCharm, VS Code, терминал и т. д.).
Для отправки на проверку приложите:
• сам файл .py (или .txt с кодом),
• единый скриншот, где виден код и вывод программы после пары тестовых запусков.

Логическая функция
F = A ∨ B ∧ (C → B)
содержит три элементарные операции:

1) импликация (C → B);
2) конъюнкция B ∧ ( … );
3) дизъюнкция A ∨ ( … ).

Чтобы было видно, как получается окончательный результат, введём столбцы для каждой из операций.

Обозначения в таблице
0 – «ложь», 1 – «истина».
Импликация принимается по определению
C → B ≡ ¬C ∨ B (истина всегда, кроме случая C = 1, B = 0).

Таблица истинности

A | B | C || C → B | B ∧ (C → B) | F = A ∨ [B ∧ (C → B)]
--|---|---||-------|--------------|------------------------
0 | 0 | 0 || 1 | 0 | 0
0 | 0 | 1 || 0 | 0 | 0
0 | 1 | 0 || 1 | 1 | 1
0 | 1 | 1 || 1 | 1 | 1
1 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1
1 | 0 | 1 || 0 | 0 | 1
1 | 1 | 0 || 1 | 1 | 1
1 | 1 | 1 || 1 | 1 | 1

Пояснение к заполнению строк

• Строка 2 (A=0, B=0, C=1).
C → B = 1 → 0 = 0,
B ∧ (C → B) = 0 ∧ 0 = 0,
F = 0 ∨ 0 = 0.

• Строка 3 (A=0, B=1, C=0).
C → B = 0 → 1 = 1,
B ∧ (C → B) = 1 ∧ 1 = 1,
F = 0 ∨ 1 = 1.

И т.д. для остальных строк.

Итоговая функция принимает значение 0 лишь в двух комбинациях входов (000 и 001), а во всех остальных – 1.

Пусть r – радиус окружности, R – её центр O.

1.Длина касательной

Для внешней точки K выполняется (сила точки)

  KM² = OK² – r².

Так как KM = r, то

  r² = OK² – r² ⇒ OK = √2·r.

2.Треугольник OKM

OM ⟂ KM (радиус ⟂ касательной).
OM = r, KM = r, OK = √2·r.
Значит △OKM – равнобедренный прямоугольный (правый угол при M),
поэтому ∠MKO = 45°.

3.Аналогично для △OKL: ∠LKO = 45°.

4.Угол между касательными

  ∠MKL = ∠MKO + ∠OKL = 45° + 45° = 90°.

5.Связь угла между касательными и дуги

Угол между двумя касательными равен разности 180° и величины меньшей дуги ML:

  ∠MKL = 180° – m(малая дуга ML).

90° = 180° – m ⇒ m(малая дуга ML) = 90°.

6.Большая дуга

  m(большая дуга ML) = 360° – 90° = 270°.

Ответ: 270°.

(На рисунке следует изобразить окружность с центром O, точки касания M и L, внешнюю точку K, касательные KM и KL, радиусы OM и OL; получится два равных прямоугольных треугольника OKM и OKL.)

1.Определение принадлежности точки заштрихованному треугольнику

1.1. Анализ рисунка
Из рисунка видно, что закрашена внутренняя область равнобедренного треугольника
A(-1;-1), B(1;-1), C(0;3).

Уравнения его сторон:
• AB : y = –1 , –1 ≤ x ≤ 1 (основание);
• AC : y = 4x + 3 , –1 ≤ x ≤ 0 ;
• BC : y = –4x + 3 , 0 ≤ x ≤ 1 .

Точка (x,y) принадлежит треугольнику ⇔
–1 ≤ x ≤ 1 , –1 ≤ y ≤ 3 и
( x ≤ 0 ⇒ y ≤ 4x+3 ) и
( x ≥ 0 ⇒ y ≤ –4x+3 ).

1.2. Блок-схема (словесное описание)
Начало → ввод x,y → проверка «выход за рамки» (|x|>1 ˅ y<-1 ˅ y>3?)
да → «не принадлежит» → Конец
нет → ветвление «x≤0?» →
Левая сторона: y≤4x+3? → да: «принадлежит», нет: «не принадлежит»
Правая сторона: y≤-4x+3? → да: «принадлежит», нет: «не принадлежит»
→ Конец.

1.3. Программа на Pascal

program PointInTriangle;
var
  x, y : real;
begin
  writeln('Введите x и y:');
  readln(x, y);

  if (x < -1) or (x > 1) or (y < -1) or (y > 3) then
    writeln('не принадлежит')
  else
    if x <= 0 then            { левая половина }
      if y <= 4*x + 3 then
        writeln('принадлежит')
      else
        writeln('не принадлежит')
    else                      { правая половина }
      if y <= -4*x + 3 then
        writeln('принадлежит')
      else
        writeln('не принадлежит');
end.

Пояснение: сначала отсеиваем все точки вне минимального прямоугольника (быстро), затем сравниваем с прямыми AC или BC в зависимости от знака x.

─────────────────────────────────────────────────────────
2.Вычисление функции h (задача 2.3.16)

⎧ e^y + ³√(8·b⁴) , если b ≥ 8
h(b,y)= ⎨
⎩ 6y – sin(8·b³), если b < 8

2.1. Блок-схема (словесно)
Начало → ввод b, y → условие «b ≥ 8?» →
да → h := e^y + (8·b⁴)^(1/3) → вывод h → Конец
нет → h := 6y – sin(8·b³) → вывод h → Конец.

2.2. Программа на Pascal

program CalcH;
uses Math;                { для exp, power, sin }

var
  b, y, h : real;

begin
  writeln('Введите b и y:');
  readln(b, y);

  if b >= 8 then
    h := exp(y) + power(8*power(b,4), 1/3)      { кубический корень }
  else
    h := 6*y - sin(8*power(b,3));

  writeln('h = ', h:0:6);
end.

Пояснение:
• exp(y) – функция e^y;
• power(A,1/3) – кубический корень из A;
• в ветви b<8 используется обычный синус (радианы).

Обе программы можно изобразить указанных выше блок-схемами; логика в коде в точности отражает шаги алгоритмов.

Ниже приведены все требуемые вычисления с подробными пояснениями.

────────────────────────────────────────
0.Двойной интеграл
D : y = x² , y² = x

1) Найти I = ∬D x y dx dy.

1.1 Точки пересечения:
y = x² , y² = x ⇒ y = x² , x = y² ⇒ x⁴ = x ⇒ x = 0,1 ⇒ (0,0) и (1,1).

1.2 Удобно интегрировать по y (0≤y≤1):
при данном y x меняется от ​x = y²​ (левая кривая) до ​x = √y​ (правая кривая).

I = ∫₀¹ ∫{x = y²}^{√y} x y dx dy
= ∫₀¹ y [x²/2]{y²}^{√y} dy
= ∫₀¹ ½ y (y − y⁴) dy
= ½ ∫₀¹ (y² − y⁵) dy
= ½ ( 1/3 − 1/6 )
= 1/12.

Ответ: ∬_D x y dx dy = 1/12.
────────────────────────────────────────
Задание 1. Определённые интегралы
(1) ∫₀^{3/2} x² / √(9−x²) dx

x = 3 sinθ, dx = 3 cosθ dθ, θ: 0→π/6
I₁ = 9 ∫₀^{π/6} sin²θ dθ
= 9·½[θ − sin2θ/2]₀^{π/6}
= 9/2 (π/6 − √3/4)
= 3π/4 − 9√3/8.

(2) ∫₀^{π/2} x² cos2x dx

По частям (u=x², dv=cos2x dx):
I₂ = −∫₀^{π/2} x sin2x dx
Ещё раз по частям ⇒ I₂ = −π/4.

(3) ∫₀^{1} dx / √(x²−6x+13)

x²−6x+13 = (x−3)²+4, u = x−3 (u: −3→−2)
I₃ = ∫{−3}^{−2} du / √(u²+4)
= ln|u+√(u²+4)|{−3}^{−2}
= ln[ 2(√2−1)/(√13−3) ].

────────────────────────────────────────
Задание 2. Несобственный интеграл
∫₀^{2} dx / (x²−4x+3)

x²−4x+3 = (x−1)(x−3).
1/[(x−1)(x−3)] = −½/(x−1)+½/(x−3).

F(x)=½ ln|(x−3)/(x−1)|.
В точке x=1 (лежит внутри [0,2])   F(x) → +∞, поэтому

∫₀^{2} … dx расходится (не существует конечного значения).

────────────────────────────────────────
Задание 3. Площадь фигуры
y = x²√(8−x²),  0 ≤ x ≤ √2, y=0.

S = ∫₀^{√2} x²√(8−x²) dx.
Берём x = 2√2 sinθ (θ: 0→π/6):

S = 64 ∫₀^{π/6} sin²θ cos²θ dθ
= 16 ∫₀^{π/6} sin²2θ dθ
= 8[θ − sin4θ/4]₀^{π/6}
= 8(π/6 − √3/8)
= 4π/3 − √3.

────────────────────────────────────────
Задание 4. Объём тела вращения вокруг OX
y = −x² + 5x + 6,  y = 0.

Корни: −x²+5x+6=0 ⇒ x = −1, 6.

V = π ∫{−1}^{6} (−x²+5x+6)² dx
= π ∫{−1}^{6} (x⁴ −10x³ +13x² +60x +36) dx
= π [x⁵/5 − (5/2)x⁴ + (13/3)x³ +30x² +36x]{−1}^{6}
= π · 16807/30.

Ответ: V = 16807π / 30.

────────────────────────────────────────
Задание 5. Длина дуги
x = 4(t−sin t),  y = 4(1−cos t),  π/2 ≤ t ≤ 2π/3.

dx/dt = 4(1−cos t),  dy/dt = 4 sin t
√[(dx/dt)²+(dy/dt)²] = 8 sin(t/2).

L = ∫{π/2}^{2π/3} 8 sin(t/2) dt
= 16[−cos u]{π/4}^{π/3} (u = t/2)
= 16(−½ + √2/2)
= 8(√2 − 1).

────────────────────────────────────────
Сводные ответы
1.Двойной интеграл: 1/12
2.Определённые интегралы:
1) 3π/4 − 9√3/8
2) −π/4
3) ln[2(√2−1)/(√13−3)]
3.Несобственный: расходится
4.Площадь: 4π/3 − √3
5.Объём: 16807π / 30
6.Длина дуги: 8(√2 − 1)

Ниже даны

• логическая последовательность действий (словесный алгоритм),
• блок-схемы в виде «текстовых» рисунков,
• программы на Pascal/FreePascal,

а также необходимые пояснения к обоим пунктам задания.

────────────────────────────────────────────────────────
1.Вычисление h = (13·√(x³) + sin²(5k)) / (3·x⁵ + 3·e^(–2k³) + 4)
────────────────────────────────────────────────────────
Анализ области определения
• подкоренное выражение x³ ≥ 0 ⇒ x ≥ 0;
• знаменатель D = 3·x⁵ + 3·e^(–2k³) + 4 ≠ 0.

Словесный алгоритм
1.Ввести x, k.
2.Проверить: x ≥ 0? Если нет – сообщение об ошибке.
3.Вычислить
 t₁ = √(x³);
 t₂ = sin(5·k);
 t₃ = t₂²;
 N = 13·t₁ + t₃ — числитель;
 D = 3·x⁵ + 3·e^(–2·k³) + 4 — знаменатель.
4.Проверить: D ≠ 0? Если D≈0 – сообщение об ошибке.
5.h = N / D.
6.Вывести h.

Блок-схема (ASCII-вариант)

 ┌────────┐
 │  Старт │
 └───┬────┘
     │
     ▼
┌──────────┐
│  Ввод x,k│
└───┬──────┘
    ▼
┌──────────────────────┐
│ x<0 ?  (ошибка?)     │
└───┬──────┬───────────┘
    │Нет   │Да
    │      ▼
    │   Сообщение
    │   «x<0»  → Стоп
    ▼
┌──────────────────────┐
│ t1:=sqrt(x^3)        │
│ t2:=sin(5*k)         │
│ t3:=t2^2             │
│ N :=13*t1+t3         │
│ D :=3*x^5+3*exp(-2*k^3)+4│
└───┬──────────────────┘
    ▼
┌──────────────────────┐
│ |D|<ε ? (≈0 ?)       │
└───┬──────┬───────────┘
    │Нет   │Да
    │      ▼
    │   Сообщение
    │   «D=0» → Стоп
    ▼
┌───────────────┐
│ h:=N/D        │
└───┬───────────┘
    ▼
┌───────────────┐
│ Вывод h       │
└───┬───────────┘
    ▼
 ┌────────┐
 │  Стоп  │
 └────────┘

Программа на FreePascal/Delphi

program CalcH;
uses Math;
var
  x, k, h, num, den: Double;
const
  EPS = 1E-12;
begin
  Write('Введите x = ');  ReadLn(x);
  Write('Введите k = ');  ReadLn(k);

  if x < 0 then
  begin
    Writeln('Ошибка: x должно быть неотрицательным (x >= 0)');
    Halt(1);
  end;

  num := 13 * Sqrt(Power(x,3)) + Sqr(Sin(5*k));
  den := 3 * Power(x,5) + 3 * Exp(-2 * Power(k,3)) + 4;

  if Abs(den) < EPS then
  begin
    Writeln('Ошибка: знаменатель обращается в ноль.');
    Halt(1);
  end;

  h := num / den;
  Writeln('h = ', h:0:10);
end.

────────────────────────────────────────────────────────
2.Средняя скорость автомобиля (половина времени со скоростью a, другая половина – со скоростью b)
────────────────────────────────────────────────────────
Пусть общее время движения — T часов.
• первую половину времени (T/2) машина шла со скоростью a,
• вторую половину времени (T/2) — со скоростью b.

Пройденные пути
S₁ = a·T/2, S₂ = b·T/2, S = S₁ + S₂ = (T/2)(a + b).

Средняя скорость v̅ = S / T = [(T/2)(a + b)] / T = (a + b) / 2.

Итак, если потраченные интервалы времени одинаковы, средняя скорость — обычное арифметическое среднее двух скоростей.

Словесный алгоритм
1.Ввести a, b.
2.v̅ = (a + b) / 2.
3.Вывести v̅.

Блок-схема (ASCII)

 ┌────────┐
 │ Старт  │
 └───┬────┘
     ▼
┌──────────┐
│ Ввод a,b │
└───┬──────┘
    ▼
┌───────────────┐
│ v := (a+b)/2  │
└───┬───────────┘
    ▼
┌───────────────┐
│ Вывод v       │
└───┬───────────┘
    ▼
 ┌────────┐
 │ Стоп   │
 └────────┘

Программа на Pascal

program AvgSpeed;
var
  a, b, v: Double;
begin
  Write('Скорость a (км/ч): '); ReadLn(a);
  Write('Скорость b (км/ч): '); ReadLn(b);

  v := (a + b) / 2;
  Writeln('Средняя скорость за весь путь = ', v:0:3, ' км/ч');
end.

Пояснение результата
• Если участки пути равны, надо было бы применять гармоническое среднее.
• В нашей задаче равны интервалы времени, поэтому ответ (a + b)/2 корректен.

Заданная функция распределения

⎧ 0 , x ≤ 4
F(x) = ⎨ 4 A x² – B , 4 < x ≤ 8 (1)
⎩ 1 , x > 8

должна удовлетворять двум условиям непрерывной НРСВ:

1.F(4)=0 ; 2. F(8)=1 .

Найдём A и B.

1.F(4)=0 ⇒ 4A·4² – B = 0 ⇒ 64A – B = 0 . (2)
2.F(8)=1 ⇒ 4A·8² – B = 1 ⇒ 256A – B = 1 . (3)

Вычитаем (2) из (3):

(256A – B) – (64A – B) = 1
192A = 1 ⇒ A = 1/192 .

Подставляем в (2):

64·(1/192) – B = 0 ⇒ B = 64/192 = 1/3 .

Итак A = 1/192 , B = 1/3 .

------------------------------------------------------------
Плотность распределения

f(x)=F´(x)

f(x)=⎧ 0 , x < 4
⎨ d/dx(4Ax² – B)=8Ax = 8·(1/192)·x = x/24 , 4 < x < 8
⎩ 0 , x > 8 .

График f(x) ‑ это отрезок прямой, растущий от f(4)=4/24=1/6 до f(8)=8/24=1/3,
а вне интервала (4;8) плотность равна нулю.

------------------------------------------------------------
Математическое ожидание

M(X)=∫₄⁸ x·f(x) dx = ∫₄⁸ x·(x/24) dx = ∫₄⁸ x²/24 dx
= (1/24)·[x³/3]₄⁸ = (1/72)(8³–4³)
= (1/72)(512–64)=448/72=56/9 ≈ 6.222.

------------------------------------------------------------
Второй момент

E[X²]=∫₄⁸ x²·f(x) dx = ∫₄⁸ x²·(x/24) dx = ∫₄⁸ x³/24 dx
= (1/24)·[x⁴/4]₄⁸ = (1/96)(8⁴–4⁴)
= (1/96)(4096–256)=3840/96=40.

------------------------------------------------------------
Дисперсия

D(X)=E[X²]–(M(X))² = 40 – (56/9)²
= 40 – 3136/81 = (3240–3136)/81 = 104/81 ≈ 1.284.

σ = √D(X) ≈ 1.133.

------------------------------------------------------------
Вероятность P(a < X < b) при a = 5, b = 13

Поскольку всё распределение сосредоточено на (4;8),

P(5 < X < 13)=P(5 < X ≤ 8)=F(8) – F(5).

F(5)=4A·5² – B = 4·(1/192)·25 – 1/3
= 100/192 – 64/192 = 36/192 = 3/16.

Следовательно
P(5 < X < 13)=1 – 3/16 = 13/16 = 0.8125.

------------------------------------------------------------
Краткое резюме

A = 1/192, B = 1/3
f(x)=0, x<4; f(x)=x/24, 4<x<8; f(x)=0, x>8
M(X)=56/9 ≈ 6.222
D(X)=104/81 ≈ 1.284
P(5<X<13)=13/16 = 0.8125

------------------------------------------------------------
Эскиз графиков

• F(x):
– горизонтальная линия F=0 до x=4;
– парабола 4Ax²–B ( возрастает от 0 до 1 ) на [4;8];
– горизонтальная линия F=1 при x>8.

• f(x):
– 0 до x=4;
– прямая x/24 (значения 1/6…1/3) на (4;8);
– 0 после x=8.

Для построения в Python:

import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
A, B = 1/192, 1/3
x = np.linspace(0,12,400)

F = np.piecewise(x,
        [x<=4, (x>4)&(x<=8), x>8],
        [0, lambda t: 4*A*t**2 - B, 1])

f = np.piecewise(x,
        [x<=4, (x>4)&(x<8), x>=8],
        [0, lambda t: t/24, 0])

plt.subplot(2,1,1); plt.plot(x,F); plt.title('F(x)')
plt.subplot(2,1,2); plt.plot(x,f); plt.title('f(x)')
plt.tight_layout(); plt.show()

Графики подтвердят получённые аналитические результаты.

Пусть дана система

⎧ 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 9
⎪ 3x₁ − 5x₂ + x₃ = −4 (1)
⎩ 4x₁ − 7x₂ + 2x₃ = 5

(в третьем уравнении коэффициент при x₃ равен 2; при этих числах система, действительно, совместна и имеет единственное решение, что и требовалось показать).

Ниже показано, что ранг матрицы коэффициентов равен 3 (det A ≠ 0), т.е. система совместна и определена; затем она решается тремя различными способами.

────────────────────────────────────
1.Проверка совместности
Матрица коэффициентов

A = ⎡ 2 −1 3 ⎤
⎢ 3 −5 1 ⎥
⎣ 4 −7 2 ⎦

det A вычислим, например, правилом Сарруса:

det A = 2·(−5)·2 + (−1)·1·4 + 3·3·(−7)
− [ 3·(−5)·3 + (−1)·3·2 + 2·1·(−7) ]
= (−20) + (−4) + (−63) − [ (−45) + (−6) + (−14) ]
= −87 − (−80) = −7 ≠ 0.

Следовательно rang A = 3 = rang [A | b]; система совместна и имеет единственное решение.

────────────────────────────────────
2.Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу и приведём её к ступенчатому виду:

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 3 −5 1 | −4 ] → R₂ ← R₂ − (3/2)R₁
[ 4 −7 2 | 5 ] → R₃ ← R₃ − 2R₁

Получаем

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 0 −7/2 −7/2 | −35/2 ]
[ 0 −5 −4 | −13 ]

Нормируем вторую строку (умножим на −2/7):

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 0 1 1 | 5 ]
[ 0 −5 −4 | −13 ]

Устраним x₂ из третьей строки: R₃ ← R₃ + 5·R₂

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 0 1 1 | 5 ]
[ 0 0 1 | 12 ]

Обратный ход:

• из второй строки: x₃ = 12, x₂ = 5 − x₃ = −7
• из первой строки: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 9
          2x₁ − (−7) + 36 = 9 ⇒ 2x₁ = −34 ⇒ x₁ = −17.

Ответ: x₁ = −17, x₂ = −7, x₃ = 12.

────────────────────────────────────
3.Правило Крамера

Δ = det A = −7.

Δ₁ — заменяем 1-й столбец правой частью (9, −4, 5):

Δ₁ = | 9 −1 3 |
|−4 −5 1 | = 119
| 5 −7 2 |

Δ₂ — заменяем 2-й столбец:

Δ₂ = | 2 9 3 |
| 3 −4 1 | = 49
| 4 5 2 |

Δ₃ — заменяем 3-й столбец:

Δ₃ = | 2 −1 9 |
| 3 −5 −4 | = −84
| 4 −7 5 |

x₁ = Δ₁ / Δ = 119 / (−7) = −17
x₂ = Δ₂ / Δ = 49 / (−7) = −7
x₃ = Δ₃ / Δ = −84 / (−7) = 12.

────────────────────────────────────
4.(в качестве третьего способа) Решение через обратную матрицу

Поскольку det A ≠ 0, существует A⁻¹ и
x = A⁻¹ b.
Вычислив A⁻¹ (или решив три системы с единичными столбцами), получаем тот же вектор
x = (−17, −7, 12)ᵗ.

────────────────────────────────────
Итоговое (и единственное) решение системы:

x₁ = −17, x₂ = −7, x₃ = 12.

Чтобы сформировать команду, надо

1.выбрать 3-х юношей из 20;
2.выбрать 2-х девушек из 10.

Порядок внутри каждой группы значения не имеет, поэтому пользуемся сочетаниями.

Число способов выбрать 3 юношей:
C(20,3)=20·19·18/3! = 1140.

Число способов выбрать 2 девушек:
C(10,2)=10·9/2! = 45.

Независимые выборы умножаем:
1140 · 45 = 51 300.

Ответ: 51 300 способов.

1.Определяем границы по х
Пересечение кривых y = x³ и y = 1:
x³ = 1 ⇒ x = 1.

Таким образом, между х = –2 (заданная прямая) и х = 1 кубическая кривая лежит ниже горизонтали y = 1 (-8 ≤ x³ ≤ 1).
Следовательно, ограниченная область – это «лента» между линиями y = 1 (сверху) и y = x³ (снизу) при –2 ≤ x ≤ 1.

2.Записываем выражение для площади
S = ∫(верхняя ‑ нижняя) dx = ∫{-2}^{1} (1 – x³) dx.

3.Вычисляем интеграл
∫ (1 – x³) dx = x – x⁴/4 + C.

S = [x – x⁴/4]{-2}^{1}
= (1 – 1/4) – [-2 – (-2)⁴/4]
= (3/4) – [-2 – 16/4]
= 3/4 – (-2 – 4)
= 3/4 – (-6)
= 3/4 + 6
= 27/4.

4.Ответ
Площадь искомой фигуры равна 27/4 (или 6.75) квадратных единиц.

Пусть АВC – правильный треугольник, a = АВ = ВС = СА = 6 см,
S – точка пространства, для которой

SA = SB = SC  и ρ(S, π(АВС)) = 3 см,

где ρ(S, π(АВС)) – расстояние от S до плоскости треугольника.
Ниже ‑ доказательство и искомые величины.

1.Проекция S на плоскость треугольника

• Из равенств SA = SB и SA = SC следует, что S лежит одновременно в
плоскостях серединных перпендикуляров к отрезкам AB и AC.
• Пересечение этих двух плоскостей – это прямая, проходящая через
точку О (точку пересечения серединных перпендикуляров в самой
плоскости АВС, т.е. центр описанной окружности треугольника) и
перпендикулярная к плоскости АВС.
• Следовательно, S принадлежит этой оси, а её ортогональная проекция на
плоскость АВС совпадает с точкой О.

Итак, проекция S на плоскость АВС – центр треугольника О
(он же центр описанной окружности, инцентр и центр тяжести
правильного треугольника).

2.Длина отрезка SA

OA = R – радиус описанной окружности правильного треугольника
R = a / √3 = 6 / √3 = 2√3 см.

OS = ρ(S, π(АВС)) = 3 см (по условию).

В прямоугольном треугольнике SAO:

SA² = OS² + OA² ⇒ SA = √(3² + (2√3)²) = √(9 + 12) = √21 см.

3.Расстояние от S до каждой стороны треугольника

Pусть Н – проекция точки S на сторону AB.
Тогда ON – расстояние от центра треугольника до стороны AB, т.е. его
инрадиус:

ON = r = a√3 / 6 = 6√3 / 6 = √3 см.

Векторы OS (перпендикуляр к плоскости) и ON (лежит в плоскости)
перпендикулярны, поэтому

SH² = OS² + ON² = 3² + (√3)² = 9 + 3 = 12
⇒ SH = 2√3 см.

Из-за симметрии то же расстояние получаем до сторон BC и CA.

Ответ: ρ(S, AB) = ρ(S, BC) = ρ(S, CA) = 2√3 см.

4.Угол между плоскостью АВС и прямой SA

Пусть β – искомый угол (угол наклона прямой к плоскости).
По определению:

sin β = (перпендикулярная к плоскости составляющая) / (длина
самой прямой) = OS / SA = 3 / √21;

или, что эквивалентно,
tan β = OS / OA = 3 / (2√3) = √3 / 2.

Отсюда

β = arctan(√3 / 2) ≈ 40.9°.

Итоги

• проекция S на плоскость АВС – точка O;
• SA = SB = SC = √21 см;
• расстояние от S до каждой стороны треугольника равно 2√3 см;
• угол между SA и плоскостью АВС: β = arctan(√3 / 2)
(sin β = 3 / √21, β ≈ 41°).