udachnik

Чертёжи прилагаются. По сути ABCD - это треугольная пирамида.
При построении важен порядок рисования. Смотрите Рис. 1.
Сначала рисуем треугольник ABC, потом точку D, равноудалённую от всех вершин треугольника.
Это означает, что точка D находится вертикально над центром описанной окружности треугольника.
А центр описанной окружности прямоугольного треугольника - это точка P, середина гипотенузы AB.
Точку M ставим по условию: расстояние CM = 2*MD. Потом рисуем MO вертикально вниз.
Точка O находится на пересечении высоты MO и медианы треугольника CP.
Проводим отрезок AO и тянем его дальше до пересечения с ребром BC. Получили точку K.
И наконец строим отрезок MK. В итоге получили вертикальную плоскость AMK, показанную красным.

Теперь решаем задачу. Нам надо найти отношение BK : KC.
Заметим, что CPD - прямоугольный треугольник. Смотрите Рис. 2. Там CPD изображен отдельно.
Так как CM : MD = 2 : 1, то треугольники CPD и COM подобны с коэффициентом 3 : 2.
Значит, CO : OP = 2 : 1.
На Рис. 3 изображено основание ABC.
Точка O, которая делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника - это точка пересечения медиан.
Она же является так называемым центром тяжести треугольника.
Значит, AK - это тоже медиана треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что точка K делит катет BC ровно пополам.

Ответ: BK : KC = 1 : 1

Так как вопрос не задан, то я могу только нарисовать чертеж.
Два смежных угла в сумме дают 180 гр., а разность между ними равна 30 гр. по условию.
Это значит, что AOC = 75 гр, BOC = 105 гр.
Кроме того, сказано, что лучи OC и OK лежат в разных плоскостях.
Но сама фраза "смежные углы" говорит о том, что точки A, B, C, O все лежат в одной плоскости.
Угол COK показан 90 гр, но при этом луч OK лежит в другой плоскости, чем точки A, B, C.
Хотя на картинке это не видно.

4^{x} + 3^{x + 1/2} = 3^{x + 3/2} - 7 \cdot 2^{2x-1}
Объединим выражения с одинаковыми основаниями. Пусть будет слева 4, справа 3.
4^{x} + 7 \cdot 2^{2x} \cdot 2^{-1} = 3^{x + 1/2 + 1} - 3^{x + 1/2}
4^{x} + 7 \cdot 4^{x} \cdot 1/2 = 3^{x + 1/2} \cdot 3 - 3^{x + 1/2}
4^{x} \cdot (1 + 7/2) = 3^{x + 1/2} \cdot (3 - 1)
4^{x} \cdot 9/2 = 3^{x + 1/2} \cdot 2
Разделим обе части на 9 и на 2.
4^{x} \cdot 1/4 = 3^{x + 1/2} \cdot 1/9
4^{x} \cdot 1/4 = 3^{x} \cdot 3^{1/2} \cdot 3^{-2}
4^{x} \cdot 1/4 = 3^{x} \cdot 3^{-3/2}
\frac{4^{x}}{3^{x}} = \frac{4}{3^{3/2}}
Возведём обе части в квадрат:
\frac{16^{x}}{9^{x}} = \frac{16}{3^{3}}
(\frac{16}{9})^{x} = \frac{16}{27}
x = \log_{16/9} \frac{16}{27}
Удобнее будет, если обе дроби будут больше 1.
Но, если дробь под логарифмом перевернуть, то сам логарифм поменяет знак:
x = -\log_{16/9} \frac{27}{16}
x = -\frac{\lg (27/16)}{\lg (16/9)}

Вторая задача.
3^{x^{2-4}} = (\frac{1}{3})^{1-x}
Во-первых, 2 - 4 = -2, зачем писать 2-4, непонятно.
Может быть, там что-то пропущено или неправильно?
Во-вторых, если дробь в основании перевернуть, то в показателе степени меняется знак.
(\frac{1}{3})^{1-x} = 3^{x-1}
Получаем:
3^{x^{-2}} = 3^{x-1}
Степени равны, основания одинаковы, значит, и показатели равны.
x^{-2} = x - 1
\frac{1}{x^2} = x - 1
Умножаем всё уравнение на x^2, не равный 0.
1 = x^3 - x^2
x^3 - x^2 - 1 = 0
Это уравнение имеет один иррациональный корень.
x\approx 1,4656
Найти его можно с помощью формулы Кардано, других способов нет.

Возьмем Михаила и поставим его в сторону. Считаем, что мы его выбрали.
Теперь нам нужно выбрать к нему пару из оставшихся 5 человек.
Один из этих пяти - Олег. Вероятность, что мы выберем Олега в пару к Михаилу:
p = 1/5 = 0,2

Объем цилиндра, то есть объем жидкости в цилиндрическом сосуде, можно вычислить по формуле:
V=\pi \cdot R^{2}\cdot H
Здесь высота жидкости H = 16 см.
Если радиус станет вдвое больше, то есть R1 = 2R, то объем получится такой:
V1=\pi \cdot (2R)^{2}\cdot h=\pi \cdot 4R^2\cdot h
Новую высоту я обозначил h. Ясно, что h < H.
Как видим, в формуле появился коэффициент 4.
Если бы высота осталась той же H, то объем стал бы в 4 раза больше.
Но жидкость та же самая, и ее объем не изменился:
V1 = V
Значит, новая высота должна стать в 4 раза меньше, чтобы компенсировать этот коэффициент.
h = H/4 = 16/4 = 4 см
Ответ: 4 см.

Результаты в классе А: 111, 111, 116, 98, 121, 109, 119, 110, 123, 109, 122, 105, 90, 109, 92.
Средний арифметический балл: (111+111+116+98+121+109+119+110+123+109+122+105+90+109+92)/15 = 109,67
Результаты в классе Б: 129, 87, 99, 107, 100, 109, 130, 131, 112, 106, 118, 105, 95.
Средний арифметический балл: (129+87+99+107+100+109+130+131+112+106+118+105+95)/13 = 109,85
Ответ: Да, можно утверждать, что показатели существенно не отличаются.

Смотрите рисунок.
Прямую BB1 я показал синим цветом, а плоскость ADC1 красным.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямыми BB1 и AB1 (диагональю грани).
Этот угол равен 45 градусов.

Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение - это точки экстремумов.
В этих точках производная равна 0.
Причем, если знак производной меняется с плюса на минус, то это наибольшее значение.
А если знак производной меняется с минуса на плюс, то это наименьшее значение.
У нас на рисунке показан график производной f'(x), на котором видно, что при x = -3 значение производной равно 0.
Причем слева от -3 производная положительна, а справа от -3 она отрицательна.
Это означает, что при x = -3 функция y = f(x) принимает наибольшее значение.
Ответ: -3

Обозначим x концентрацию 1 раствора и y концентрацию 2 раствора.
В 100 кг 1 раствора содержится ровно x кг кислоты.
В 60 кг 2 раствора содержится 0,6y кг кислоты.
Если их смешать, то получится 160 кг раствора, содержащего x + 0,6y кг кислоты.
И это составляет концентрацию 27%.
(x + 0,6y)/160 = 0,27
x + 0,6y = 160*0,27
x + 0,6y = 43,2

Теперь возьмем равные массы растворов, например, по 10 кг.
В 10 кг 1 раствора содержится 0,1x кислоты.
В 10 кг 2 раствора содержится 0,1y кислоты.
Если их смешать, то получится 20 кг раствора, в которых содержится 0,1x + 0,1y кг кислоты.
И это составляет концентрацию 32%.
(0,1x + 0,1y)/20 = 0,32
0,1x + 0,1y = 20*0,32
0,1x + 0,1y = 6,4
x + y = 64
Составляем систему:
x + y = 64
x + 0,6y = 43,2
Вычитаем из 1 уравнения 2 уравнение.
y - 0,6y = 64 - 43,2
0,4y = 20,8
y = 52% - это концентрация 2 раствора.
Подставляем в любое уравнение:
x + 52 = 64
x = 64 - 52
x = 12% - это концентрация 1 раствора.

Но вопрос был: сколько килограмм кислоты содержится в первом сосуде?
Так как масса раствора в первом сосуде равна M1 = 100 кг, а концентрация p1 = 12%, то масса кислоты:
m1 = M1*p1 = 100*0,12 = 12 кг

Ответ: 12 кг.

Наша задача - вычислить коэффициенты a, k, b.
Первая функция: y = a \cdot \sqrt{x}, которая проходит через точку (4; -3). Подставляем координаты в функцию:
-3=a \cdot \sqrt{4}
-3=2a
a=-3/2
Получается функция: y = -3/2 \cdot \sqrt{x}
Вторая функция: y = kx + b, которая проходит через точки (3; 2) и (6; 1). Подставляем координаты два раза:
2 = k*3 + b
1 = k*6 + b
Решаем систему уравнений. Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение.
-1 = k*3
k = -1/3
Подставляем в уравнение:
2 = -1/3*3 + b
b = 2 + 1
b = 3
Вторая функция: y = -x/3 + 3
Теперь нам остается составить уравнение из этих двух функций, приравняв правые части.
-3/2 \cdot \sqrt{x} = -x/3 + 3
Умножаем всё на -6:
9 \cdot \sqrt{x} = 2x - 18
Возводим в квадрат обе части:
81x = 4x^2 - 72x + 324
4x^2 - 153x + 324 = 0
D = (-153)^2 - 4\cdot 4\cdot 324 = 23409-5184=18225
Нас интересует только положительное x:
x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{153+\sqrt{18225}}{8}=\frac{153+135}{8}=36
Ответ: 36

72 покупателя из 100 воду вообще не покупают, для них количество бутылок в 1 покупке равно 0.
Остальные 28 человек покупают хоть что-то.
Из них 14 человек покупают 1 бутылку, 9 человек покупают 9 бутылок и 5 человек покупают 12 бутылок.
Вероятности для каждого количества бутылок в покупке будут такие:
p1 = 0,72, n1 = 0
p2 = 0,14, n2 = 1
p3 = 0,09, n3 = 9
p4 = 0,05, n4 = 12
Чтобы найти математическое ожидание, нужно каждую вероятность умножить на соответствующее значение исследуемой величины.
Математическое ожидание количества бутылок в одной покупке:
M(X) = p1*n1 + p2*n2 + p3*n3 + p4*n4 = 0,72*0 + 0,14*1 + 0,09*9 + 0,05*12 = 0 + 0,14 + 0,81 + 0,6 = 1,55

Ответ: M(X) = 1,55

Задача 1. Смотрите Рис. 1.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией диагонали B1D на плоскость ACC1 является вертикальная прямая OO1, показанная красным. Диагональ B1D1 также показана красным.
Эта прямая параллельна ребру DD1, поэтому:
sin (B1D, ACC1) = sin (B1D, DD1)
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда диагональ грани куба:
B1D1 = a*sqrt(2), а диагональ куба B1D = a*sqrt(3)
[m]\sin (B1D, ACC1) = \sin (B1DD1) = \frac{B1D1}{B1D} = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}[/m]

Задача 2. Смотрите Рис. 2.
Тоже самое - Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией прямой DE на плоскость DD1C является прямая DE1.
Эта прямая DE1, а также прямая EE1, показаны красным.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда D1E1 = a/2, EE1 = a
[m]DE1 = \sqrt{DD1^2 + D1E1^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Угол DE1E - очевидно, прямо, поэтому по Теореме Пифагора:
[m]DE = \sqrt{DE1^2 + EE1^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}[/m]
[m]\sin (DE, DD1C) = \sin (EDE1) = \frac{EE1}{DE} = \frac{a}{3a/2} = \frac{2}{3}[/m]

Задача 3. Смотрите Рис. 3.
Пусть F - середина AD, K - середина AB.
Строим плоскость EFK, параллельную BDD1.
Точка M - середина отрезка KF. EM - проекция AE на плоскость EFK.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда AF = a/2, EF = a
BD = a*sqrt(2), KF = a*sqrt(2)/2, FM = KF/2 = a*sqrt(2)/4
[m]EM = \sqrt{EF^2 + FM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{16}} = \sqrt{\frac{18a^2}{16}} = \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4}[/m]
[m]AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
[m]\cos (AE, BDD1) = \cos (AEM) = \frac{EM}{AE} = [/m]
[m]= \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}= \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{10}[/m]
[m]\sin (AE, BDD1) = \sin (AEM) = \sqrt{1 - \cos^2 (AEM)} =[/m]
[m]= \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 10}{100}} = \sqrt{1 - \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}[/m]

Методом Гаусса - это значит расширенными матрицами.
Составляем расширенную матрицу системы.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
2 & -1 & 1 & | & 2 \\
1 & 4 & 2 & | & 5 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на -2 и складываем со 2 строкой.
Умножаем 1 строку на -1 и складываем с 3 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
0 & -3 & -1 & | & -4 \\
0 & 3 & 1 & | & 2 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 2 и 3 строки Результат записываем в 3 строку.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
0 & -3 & -1 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & | & -2 \\
\end{pmatrix}[/m]
3 уравнение невозможно.
Ответ: Система не имеет решений.

а) [m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
Разложим синус суммы на сумму:
sin (a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
Заметим, что [m]\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot (\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x + \cos x[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]\sin x + \cos x + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
[m]\cos x + 2\sin^2 x = 2[/m]
Применим основное тригонометрическое тождество: [m]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/m]
[m]\cos x + 2 - 2\cos^2 x = 2[/m]
[m]\cos x - 2\cos^2 x = 0[/m]
[m]\cos x \cdot (1 - 2\cos x) = 0[/m]
1) [m]\cos x = 0[/m]
[m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
2) [m]1 - 2\cos x = 0[/m]
[m]\cos x = \frac{1}{2}[/m]
[m]x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k = ± \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot k}{6};\ k ∈ Z[/m]

б) Чтобы найти, какие из корней входят в указанный промежуток, нужно брать разные значения k и подставлять их в x1 и в x2.
У нас промежуток [m][2\pi;\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{4 \pi}{2};\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{12 \pi}{6};\ \frac{21 \pi}{6}][/m]
Берем в 1) пункте k1 = 2, k2 = 3.
Получаем [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 3 = \frac{7 \pi}{2}[/m]
Во 2) пункте берем k = 1.
Получаем [m]x3 = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi}{6} = \frac{14 \pi}{6} = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Если взять k = 2, то получится:
[m]x = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot 2}{6} = \frac{26 \pi}{6} > \frac{21 \pi}{6}[/m]
Уже не подходит.

Ответ: а) [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z;\ \ \ x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
б) [m]x1 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{7 \pi}{2};\ x3 = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Графически все три корня показаны на рисунке красными точками.
x1 - вверху, x2 - внизу, x3 - на месте точки π/3.

1.Выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд.
Ранжирование признака - это расположить числа по порядку.
8; 9; 9; 10; 11; 12; 12; 13; 13; 14; 14; 14; 14; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 18; 18; 20; 20; 20; 23; 25; 28; 29
2.Составить равноинтервальный вариационный ряд.
Объем выборки n = 32.
Количество интервалов возьмем по формуле Стерджесса:
k = 1 + 3,322 × lg(n) = 1 + 3,322 × lg(32) = 1 + 3,322 × 1,505 = 1 + 5 = 6
x(min) = 8, x(max) = 29.
Ширина интервала:
h = (x(max) - x(min))/k = (29 - 8)/6 = 21/6 = 7/2 = 3,5.
Возьмем округленно h = 4. Начало 1 интервала сдвинем с 8 на 7.
1 интервал: [7 до 11), 2 интервал: [11; 15), 3 интервал: [15; 19)
4 интервал: [19; 23), 5 интервал: [23; 27), 6 интервал: [27; 31)
Каждый интервал возьмем в скобки:
(8; 9; 9; 10); (11; 12; 12; 13; 13; 14; 14; 14; 14);
(15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 18; 18); (20; 20; 20); (23; 25); (28; 29)
Количество признаков в каждом интервале:
1 интервал: [7 до 11) - 4
2 интервал: [11; 15) - 9
3 интервал: [15; 19) - 12
4 интервал: [19; 23) - 3
5 интервал: [23; 27) - 2
6 интервал: [27; 31) - 2

Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы,
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба для функций:
Вариант 1.
1) f(x) = 4x^3 - 2x^2
Критические точки 1 порядка - это точки, в которых первая производная f'(x) = 0
f'(x) = (4x^3 - 2x^2)' = 4*3x^2 - 2*2x = 12x^2 - 4x
f'(x) = 0
12x^2 - 4x = 0
4x*(3x - 1) = 0
x1 = 0; f(x1) = 4*0^3 - 2*0^2 = 0
x2 = 1/3; f(x2) = 4*(1/3)^3 - 2*(1/3)^2 = 4/27 - 2/9 = 4/27 - 6/27 = -2/27
Критические точки делят числовую прямую на промежутки:
(-oo; 0); (0; 1/3); (1/3; +oo)
Проверяем возрастание и убывание функции на этих промежутках.
f'(x) = 12x^2 - 4x
Если f'(x) < 0, то функция убывает. Если f'(x) > 0, то функция возрастает.
f'(-1) = 12*(-1)^2 - 4*(-1) = 12*1 + 4 = 16 > 0
На промежутке (-oo; 0) функция возрастает.
f'(1/4) = 12*(1/4)^2 - 4*1/4 = 12/16 - 1 = 3/4 - 1 = -1/4 < 0
На промежутке (0; 1/3) функция убывает.
f'(1) = 12*1^2 - 4*1 = 12 - 4 = 8 > 0
На промежутке (1/3; +oo) функция возрастает.
Значит, x1 = 0 - точка максимума, x2 = 1/3 - точка минимума.

Критические точки 2 порядка - это точки, в которых вторая производная f''(x) = 0
f''(x) = (12x^2 - 4x)' = 12*2x - 4 = 24x - 4
f''(x) = 0
24x - 4 = 0
24x = 4
x = 4/24 = 1/6; f(x) = 4*(1/6)^3 - 2*(1/6)^2 = 4/216 - 2/36 = 4/216 - 12/216 = -8/216
Критическая точка делит числовую прямую на промежутки:
(-oo; 1/6); (1/6; +oo)
Проверяем выпуклость и вогнутость функции на этих промежутках.
f''(x) = 24x - 4
Если f''(x) < 0, то функция выпукла. Если f''(x) > 0, то функция вогнута.
f''(-1) = 24*(-1) - 4 = -24 - 4 = -28 < 0
На промежутке (-oo; 1/6) функция выпукла.
f''(1) = 24*1 - 4 = 24 - 4 = 20 > 0
На промежутке (1/6; +oo) функция вогнута.
Значит, x1 = 1/6 - точка перегиба.

2) f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3
Я не буду расписывать подробно, схема та же самая.
f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 3)' = -4x^3 + 4x
-4x^3 + 4x = 0
-4x*(x^2 - 1) = 0
-4x(x + 1)(x - 1) = 0
x1 = -1; f(-1) = -(-1)^4 + 2*(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
x2 = 0; f(0) = -0^4 + 2*0^2 + 3 = 3
x3 = 1; f(1) = -1^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Промежутки: (-oo; -1); (-1; 0); (0; 1); (1; +oo)
f'(x) = -4x^3 + 4x
f'(-2) = -4*(-2)^3 + 4*(-2) = -4*(-8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0
На промежутке (-oo; -1) функция возрастает.
f'(-1/2) = -4*(-1/2)^3 + 4*(-1/2) = -4*(-1/8) - 4/2 = -4/8 - 2 = -2,5 < 0
На промежутке (-1; 0) функция убывает.
f'(1/2) = -4*(1/2)^3 + 4*(1/2) = -4*(1/8) + 4/2 = -4/8 + 2 = 1,5 > 0
На промежутке (0; 1) функция возрастает.
f'(2) = -4*2^3 + 4*2 = -4*8 + 8 = -32 + 8 = -24 < 0
На промежутке (1; +oo) функция убывает.
x1 = -1 - точка максимума, x2 = 0 - точка минимума, x3 = 1 - точка максимума.
f''(x) = (-4x^3 + 4x)' = -4*3x^2 + 4 = -12x^2 + 4
-12x^2 + 4 = 0
x^2 = 4/12 = 1/3
x1 = -1/sqrt(3); f(x1) = -(-1/sqrt(3))^4 + 2*(-1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
x2 = 1/sqrt(3); f(x1) = -(1/sqrt(3))^4 + 2*(1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
Промежутки: (-oo; -1/sqrt(3)); (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)); (1/sqrt(3); +oo)
f''(x) = -12x^2 + 4
f''(-1) = -12*(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (-oo; -1/sqrt(3)) функция выпукла.
f''(0) = -12*0 + 4 = 4 > 0
На промежутке (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)) функция вогнута.
f''(1) = -12*1^4 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (1/sqrt(3); +oo) функция выпукла.
Точки -1/sqrt(3); 1/sqrt(3) являются точками перегиба.

2 Вариант я делать не буду, он точно такой же.

z^3 = 1
Можно извлечь кубический корень:
[m]z= \sqrt[3]{1}[/m]
По формуле Муавра получаем 3 корня:
[m]z^3 = 1 = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0)[/m]
[m]r = 1;\ \phi = 0[/m]
[m]z = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3});\ k = 0,\ 1,\ 2[/m]
Получаем 3 корня:
[m]z1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3}) = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0) = 1[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3}) = 1(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{2 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3}) = 1(\cos \frac{4 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{4 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

А можно решить с помощью формулы разности кубов.
z^3 = 1
z^3 - 1 = 0
(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0
z1 = 1
Дальше решаем квадратное уравнение:
D = 1 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 = (i*sqrt(3))^2
[m]z2 = \frac{-1 + i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \frac{-1 - i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Корни получились те же самые.

Решения представлены на рисунке.

Шифровка: 1216151920115241033
Алфавит:
А=1, Б=2, В=3, Г=4, Д=5, Е=6, Ё=7, Ж=8, З=9, И=10, Й=11,
К=12, Л=13, М=14, Н=15, О=16, П=17, Р=18, С=19, Т=20, У=21, Ф=22,
Х=23, Ц=24, Ч=25, Ш=26, Щ=27, Ъ=28, Ы=29, Ь=30, Э=31, Ю=32, Я=33.

Начинаем разгадывать.
Допустим, в начале стоит 1, потом 2 и 1 = АБА или 1, потом 2 и 16 = АБО.
Оба варианта не подходят, с этих букв не начинается никакое женское имя.
Значит, в начале явно стоят числа 12 = К и 16 = О.
А далее 15 = Н, 19 = С, 20 = Т.
Дальше должно быть 1 = А, а не 11 = Й, потому что сочетание ТЙ невозможно.
И в конце 15 = Н, 24 = Ц, 10 = И, 33 = Я.

Ответ: Констанция.

13.24. Смотрите рисунок.
Плоскость BMD я дополнил точкой N, нарисовал красным.
Сторону квадрата примем равной а. AB = BC = a, BM = a
Прямые AM и DM нарисовал зеленым.
1) Угол между прямой AB и плоскостью BMD - это угол между стороной квадрата AB и его диагональю BD. Я его обозначил дугой 1. Его найти совсем просто.
ABD = 45°.
2) Угол между прямой AM и плоскостью BMD - это угол между AM и диагональю DM.
Сначала нужно найти стороны треугольника AMD.
AD = a
BD = a*sqrt(2) - диагональ квадрата ABCD.
AM = a*sqrt(2) - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABM.
DM^2 = BD^2 + BM^2 - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника BMD.
DM^2 = a^2*2 + a^2 = a^2*3
DM = a*sqrt(3)
Зная три стороны, можно найти угол AMD из теоремы косинусов.
AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2*AM*DM*cos AMD
a^2 = a^2*2 + a^2*3 - 2*a*sqrt(2)*a*sqrt(3)*cos AMD
Делим всё на a^2:
1 = 2 + 3 - 2sqrt(6)*cos AMD
2sqrt(6)*cos AMD = 4
cos AMD = 2/sqrt(6) = 2sqrt(6)/6 = sqrt(6)/3 ≈ 0,8165
AMD = arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
Величину угла в градусах можно найти на калькуляторе или по таблицам Брадиса.

Ответ: 1) 45°, 2) arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°

13.28. Смотрите рисунок.
Проекция стороны AB на плоскость α - это отрезок AH.
BAC = 60° по условию
BAH = 45° - это угол между AB и плоскостью α.
Нам нужно найти угол между стороной AC и проекцией стороны AB на плоскость α.
То есть нужно найти угол CAH.
Рассмотрим треугольник ABH - он прямоугольный с углом 45°, то есть равнобедренный.
AH = BH = a, обозначим эти стороны как a. Тогда AB = a*sqrt(2)
Можно применить одну хитрость.
Заметим, что угол CAH не зависит от длины стороны AC. Возьмем
AC = AB = a*sqrt(2).
Получили равнобедренный треугольник ABC с углом 60°, то есть равносторонний.
BC = AB = AC = a*sqrt(2)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.
Сторону HC я нарисовал зеленым.
У него катет BH = a, гипотенуза BC = a*sqrt(2). Значит, катет HC = a.
Получили треугольник ACH, у которого AC = a*sqrt(2), HC = a, AH = a
Это опять прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом AHC.
Угол CAH = 45°
Ответ: 45°