Правильно, только в 1 строке должно быть:
x - 2 = 2^{4}
Открыть в обсуждении →x - 2 = 2^{4}
Профиль участника
udachnik
В сообществе с 17.09.2026Был в сети: 3 часа назад72 покупателя из 100 воду вообще не покупают, для них количество бутылок в 1 покупке равно 0.
Остальные 28 человек покупают хоть что-то.
Из них 14 человек покупают 1 бутылку, 9 человек покупают 9 бутылок и 5 человек покупают 12 бутылок.
Вероятности для каждого количества бутылок в покупке будут такие:
p1 = 0,72, n1 = 0
p2 = 0,14, n2 = 1
p3 = 0,09, n3 = 9
p4 = 0,05, n4 = 12
Чтобы найти математическое ожидание, нужно каждую вероятность умножить на соответствующее значение исследуемой величины.
Математическое ожидание количества бутылок в одной покупке:
M(X) = p1*n1 + p2*n2 + p3*n3 + p4*n4 = 0,72*0 + 0,14*1 + 0,09*9 + 0,05*12 = 0 + 0,14 + 0,81 + 0,6 = 1,55
Ответ: M(X) = 1,55
Открыть в обсуждении →Остальные 28 человек покупают хоть что-то.
Из них 14 человек покупают 1 бутылку, 9 человек покупают 9 бутылок и 5 человек покупают 12 бутылок.
Вероятности для каждого количества бутылок в покупке будут такие:
p1 = 0,72, n1 = 0
p2 = 0,14, n2 = 1
p3 = 0,09, n3 = 9
p4 = 0,05, n4 = 12
Чтобы найти математическое ожидание, нужно каждую вероятность умножить на соответствующее значение исследуемой величины.
Математическое ожидание количества бутылок в одной покупке:
M(X) = p1*n1 + p2*n2 + p3*n3 + p4*n4 = 0,72*0 + 0,14*1 + 0,09*9 + 0,05*12 = 0 + 0,14 + 0,81 + 0,6 = 1,55
Ответ: M(X) = 1,55
Задача 1. Смотрите Рис. 1.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией диагонали B1D на плоскость ACC1 является вертикальная прямая OO1, показанная красным. Диагональ B1D1 также показана красным.
Эта прямая параллельна ребру DD1, поэтому:
sin (B1D, ACC1) = sin (B1D, DD1)
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда диагональ грани куба:
B1D1 = a*sqrt(2), а диагональ куба B1D = a*sqrt(3)
[m]\sin (B1D, ACC1) = \sin (B1DD1) = \frac{B1D1}{B1D} = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}[/m]
Задача 2. Смотрите Рис. 2.
Тоже самое - Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией прямой DE на плоскость DD1C является прямая DE1.
Эта прямая DE1, а также прямая EE1, показаны красным.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда D1E1 = a/2, EE1 = a
[m]DE1 = \sqrt{DD1^2 + D1E1^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Угол DE1E - очевидно, прямо, поэтому по Теореме Пифагора:
[m]DE = \sqrt{DE1^2 + EE1^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}[/m]
[m]\sin (DE, DD1C) = \sin (EDE1) = \frac{EE1}{DE} = \frac{a}{3a/2} = \frac{2}{3}[/m]
Задача 3. Смотрите Рис. 3.
Пусть F - середина AD, K - середина AB.
Строим плоскость EFK, параллельную BDD1.
Точка M - середина отрезка KF. EM - проекция AE на плоскость EFK.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда AF = a/2, EF = a
BD = a*sqrt(2), KF = a*sqrt(2)/2, FM = KF/2 = a*sqrt(2)/4
[m]EM = \sqrt{EF^2 + FM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{16}} = \sqrt{\frac{18a^2}{16}} = \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4}[/m]
[m]AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
[m]\cos (AE, BDD1) = \cos (AEM) = \frac{EM}{AE} = [/m]
[m]= \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}= \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{10}[/m]
[m]\sin (AE, BDD1) = \sin (AEM) = \sqrt{1 - \cos^2 (AEM)} =[/m]
[m]= \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 10}{100}} = \sqrt{1 - \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}[/m]
Открыть в обсуждении →Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией диагонали B1D на плоскость ACC1 является вертикальная прямая OO1, показанная красным. Диагональ B1D1 также показана красным.
Эта прямая параллельна ребру DD1, поэтому:
sin (B1D, ACC1) = sin (B1D, DD1)
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда диагональ грани куба:
B1D1 = a*sqrt(2), а диагональ куба B1D = a*sqrt(3)
[m]\sin (B1D, ACC1) = \sin (B1DD1) = \frac{B1D1}{B1D} = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}[/m]
Задача 2. Смотрите Рис. 2.
Тоже самое - Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией прямой DE на плоскость DD1C является прямая DE1.
Эта прямая DE1, а также прямая EE1, показаны красным.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда D1E1 = a/2, EE1 = a
[m]DE1 = \sqrt{DD1^2 + D1E1^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Угол DE1E - очевидно, прямо, поэтому по Теореме Пифагора:
[m]DE = \sqrt{DE1^2 + EE1^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}[/m]
[m]\sin (DE, DD1C) = \sin (EDE1) = \frac{EE1}{DE} = \frac{a}{3a/2} = \frac{2}{3}[/m]
Задача 3. Смотрите Рис. 3.
Пусть F - середина AD, K - середина AB.
Строим плоскость EFK, параллельную BDD1.
Точка M - середина отрезка KF. EM - проекция AE на плоскость EFK.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда AF = a/2, EF = a
BD = a*sqrt(2), KF = a*sqrt(2)/2, FM = KF/2 = a*sqrt(2)/4
[m]EM = \sqrt{EF^2 + FM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{16}} = \sqrt{\frac{18a^2}{16}} = \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4}[/m]
[m]AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
[m]\cos (AE, BDD1) = \cos (AEM) = \frac{EM}{AE} = [/m]
[m]= \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}= \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{10}[/m]
[m]\sin (AE, BDD1) = \sin (AEM) = \sqrt{1 - \cos^2 (AEM)} =[/m]
[m]= \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 10}{100}} = \sqrt{1 - \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}[/m]
Методом Гаусса - это значит расширенными матрицами.
Составляем расширенную матрицу системы.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
2 & -1 & 1 & | & 2 \\
1 & 4 & 2 & | & 5 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на -2 и складываем со 2 строкой.
Умножаем 1 строку на -1 и складываем с 3 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
0 & -3 & -1 & | & -4 \\
0 & 3 & 1 & | & 2 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 2 и 3 строки Результат записываем в 3 строку.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
0 & -3 & -1 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & | & -2 \\
\end{pmatrix}[/m]
3 уравнение невозможно.
Ответ: Система не имеет решений.
Открыть в обсуждении →Составляем расширенную матрицу системы.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
2 & -1 & 1 & | & 2 \\
1 & 4 & 2 & | & 5 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на -2 и складываем со 2 строкой.
Умножаем 1 строку на -1 и складываем с 3 строкой.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
0 & -3 & -1 & | & -4 \\
0 & 3 & 1 & | & 2 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 2 и 3 строки Результат записываем в 3 строку.
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3 \\
0 & -3 & -1 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & | & -2 \\
\end{pmatrix}[/m]
3 уравнение невозможно.
Ответ: Система не имеет решений.
а) [m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
Разложим синус суммы на сумму:
sin (a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
Заметим, что [m]\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot (\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x + \cos x[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]\sin x + \cos x + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
[m]\cos x + 2\sin^2 x = 2[/m]
Применим основное тригонометрическое тождество: [m]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/m]
[m]\cos x + 2 - 2\cos^2 x = 2[/m]
[m]\cos x - 2\cos^2 x = 0[/m]
[m]\cos x \cdot (1 - 2\cos x) = 0[/m]
1) [m]\cos x = 0[/m]
[m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
2) [m]1 - 2\cos x = 0[/m]
[m]\cos x = \frac{1}{2}[/m]
[m]x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k = ± \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot k}{6};\ k ∈ Z[/m]
б) Чтобы найти, какие из корней входят в указанный промежуток, нужно брать разные значения k и подставлять их в x1 и в x2.
У нас промежуток [m][2\pi;\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{4 \pi}{2};\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{12 \pi}{6};\ \frac{21 \pi}{6}][/m]
Берем в 1) пункте k1 = 2, k2 = 3.
Получаем [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 3 = \frac{7 \pi}{2}[/m]
Во 2) пункте берем k = 1.
Получаем [m]x3 = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi}{6} = \frac{14 \pi}{6} = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Если взять k = 2, то получится:
[m]x = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot 2}{6} = \frac{26 \pi}{6} > \frac{21 \pi}{6}[/m]
Уже не подходит.
Ответ: а) [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z;\ \ \ x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
б) [m]x1 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{7 \pi}{2};\ x3 = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Графически все три корня показаны на рисунке красными точками.
x1 - вверху, x2 - внизу, x3 - на месте точки π/3.
Открыть в обсуждении →Разложим синус суммы на сумму:
sin (a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
Заметим, что [m]\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot (\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x + \cos x[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]\sin x + \cos x + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
[m]\cos x + 2\sin^2 x = 2[/m]
Применим основное тригонометрическое тождество: [m]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/m]
[m]\cos x + 2 - 2\cos^2 x = 2[/m]
[m]\cos x - 2\cos^2 x = 0[/m]
[m]\cos x \cdot (1 - 2\cos x) = 0[/m]
1) [m]\cos x = 0[/m]
[m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
2) [m]1 - 2\cos x = 0[/m]
[m]\cos x = \frac{1}{2}[/m]
[m]x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k = ± \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot k}{6};\ k ∈ Z[/m]
б) Чтобы найти, какие из корней входят в указанный промежуток, нужно брать разные значения k и подставлять их в x1 и в x2.
У нас промежуток [m][2\pi;\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{4 \pi}{2};\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{12 \pi}{6};\ \frac{21 \pi}{6}][/m]
Берем в 1) пункте k1 = 2, k2 = 3.
Получаем [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 3 = \frac{7 \pi}{2}[/m]
Во 2) пункте берем k = 1.
Получаем [m]x3 = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi}{6} = \frac{14 \pi}{6} = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Если взять k = 2, то получится:
[m]x = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot 2}{6} = \frac{26 \pi}{6} > \frac{21 \pi}{6}[/m]
Уже не подходит.
Ответ: а) [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z;\ \ \ x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
б) [m]x1 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{7 \pi}{2};\ x3 = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Графически все три корня показаны на рисунке красными точками.
x1 - вверху, x2 - внизу, x3 - на месте точки π/3.
1.Выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд.
Ранжирование признака - это расположить числа по порядку.
8; 9; 9; 10; 11; 12; 12; 13; 13; 14; 14; 14; 14; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 18; 18; 20; 20; 20; 23; 25; 28; 29
2.Составить равноинтервальный вариационный ряд.
Объем выборки n = 32.
Количество интервалов возьмем по формуле Стерджесса:
k = 1 + 3,322 × lg(n) = 1 + 3,322 × lg(32) = 1 + 3,322 × 1,505 = 1 + 5 = 6
x(min) = 8, x(max) = 29.
Ширина интервала:
h = (x(max) - x(min))/k = (29 - 8)/6 = 21/6 = 7/2 = 3,5.
Возьмем округленно h = 4. Начало 1 интервала сдвинем с 8 на 7.
1 интервал: [7 до 11), 2 интервал: [11; 15), 3 интервал: [15; 19)
4 интервал: [19; 23), 5 интервал: [23; 27), 6 интервал: [27; 31)
Каждый интервал возьмем в скобки:
(8; 9; 9; 10); (11; 12; 12; 13; 13; 14; 14; 14; 14);
(15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 18; 18); (20; 20; 20); (23; 25); (28; 29)
Количество признаков в каждом интервале:
1 интервал: [7 до 11) - 4
2 интервал: [11; 15) - 9
3 интервал: [15; 19) - 12
4 интервал: [19; 23) - 3
5 интервал: [23; 27) - 2
6 интервал: [27; 31) - 2
Открыть в обсуждении →Ранжирование признака - это расположить числа по порядку.
8; 9; 9; 10; 11; 12; 12; 13; 13; 14; 14; 14; 14; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 18; 18; 20; 20; 20; 23; 25; 28; 29
2.Составить равноинтервальный вариационный ряд.
Объем выборки n = 32.
Количество интервалов возьмем по формуле Стерджесса:
k = 1 + 3,322 × lg(n) = 1 + 3,322 × lg(32) = 1 + 3,322 × 1,505 = 1 + 5 = 6
x(min) = 8, x(max) = 29.
Ширина интервала:
h = (x(max) - x(min))/k = (29 - 8)/6 = 21/6 = 7/2 = 3,5.
Возьмем округленно h = 4. Начало 1 интервала сдвинем с 8 на 7.
1 интервал: [7 до 11), 2 интервал: [11; 15), 3 интервал: [15; 19)
4 интервал: [19; 23), 5 интервал: [23; 27), 6 интервал: [27; 31)
Каждый интервал возьмем в скобки:
(8; 9; 9; 10); (11; 12; 12; 13; 13; 14; 14; 14; 14);
(15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 18; 18); (20; 20; 20); (23; 25); (28; 29)
Количество признаков в каждом интервале:
1 интервал: [7 до 11) - 4
2 интервал: [11; 15) - 9
3 интервал: [15; 19) - 12
4 интервал: [19; 23) - 3
5 интервал: [23; 27) - 2
6 интервал: [27; 31) - 2
Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы,
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба для функций:
Вариант 1.
1) f(x) = 4x^3 - 2x^2
Критические точки 1 порядка - это точки, в которых первая производная f'(x) = 0
f'(x) = (4x^3 - 2x^2)' = 4*3x^2 - 2*2x = 12x^2 - 4x
f'(x) = 0
12x^2 - 4x = 0
4x*(3x - 1) = 0
x1 = 0; f(x1) = 4*0^3 - 2*0^2 = 0
x2 = 1/3; f(x2) = 4*(1/3)^3 - 2*(1/3)^2 = 4/27 - 2/9 = 4/27 - 6/27 = -2/27
Критические точки делят числовую прямую на промежутки:
(-oo; 0); (0; 1/3); (1/3; +oo)
Проверяем возрастание и убывание функции на этих промежутках.
f'(x) = 12x^2 - 4x
Если f'(x) < 0, то функция убывает. Если f'(x) > 0, то функция возрастает.
f'(-1) = 12*(-1)^2 - 4*(-1) = 12*1 + 4 = 16 > 0
На промежутке (-oo; 0) функция возрастает.
f'(1/4) = 12*(1/4)^2 - 4*1/4 = 12/16 - 1 = 3/4 - 1 = -1/4 < 0
На промежутке (0; 1/3) функция убывает.
f'(1) = 12*1^2 - 4*1 = 12 - 4 = 8 > 0
На промежутке (1/3; +oo) функция возрастает.
Значит, x1 = 0 - точка максимума, x2 = 1/3 - точка минимума.
Критические точки 2 порядка - это точки, в которых вторая производная f''(x) = 0
f''(x) = (12x^2 - 4x)' = 12*2x - 4 = 24x - 4
f''(x) = 0
24x - 4 = 0
24x = 4
x = 4/24 = 1/6; f(x) = 4*(1/6)^3 - 2*(1/6)^2 = 4/216 - 2/36 = 4/216 - 12/216 = -8/216
Критическая точка делит числовую прямую на промежутки:
(-oo; 1/6); (1/6; +oo)
Проверяем выпуклость и вогнутость функции на этих промежутках.
f''(x) = 24x - 4
Если f''(x) < 0, то функция выпукла. Если f''(x) > 0, то функция вогнута.
f''(-1) = 24*(-1) - 4 = -24 - 4 = -28 < 0
На промежутке (-oo; 1/6) функция выпукла.
f''(1) = 24*1 - 4 = 24 - 4 = 20 > 0
На промежутке (1/6; +oo) функция вогнута.
Значит, x1 = 1/6 - точка перегиба.
2) f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3
Я не буду расписывать подробно, схема та же самая.
f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 3)' = -4x^3 + 4x
-4x^3 + 4x = 0
-4x*(x^2 - 1) = 0
-4x(x + 1)(x - 1) = 0
x1 = -1; f(-1) = -(-1)^4 + 2*(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
x2 = 0; f(0) = -0^4 + 2*0^2 + 3 = 3
x3 = 1; f(1) = -1^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Промежутки: (-oo; -1); (-1; 0); (0; 1); (1; +oo)
f'(x) = -4x^3 + 4x
f'(-2) = -4*(-2)^3 + 4*(-2) = -4*(-8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0
На промежутке (-oo; -1) функция возрастает.
f'(-1/2) = -4*(-1/2)^3 + 4*(-1/2) = -4*(-1/8) - 4/2 = -4/8 - 2 = -2,5 < 0
На промежутке (-1; 0) функция убывает.
f'(1/2) = -4*(1/2)^3 + 4*(1/2) = -4*(1/8) + 4/2 = -4/8 + 2 = 1,5 > 0
На промежутке (0; 1) функция возрастает.
f'(2) = -4*2^3 + 4*2 = -4*8 + 8 = -32 + 8 = -24 < 0
На промежутке (1; +oo) функция убывает.
x1 = -1 - точка максимума, x2 = 0 - точка минимума, x3 = 1 - точка максимума.
f''(x) = (-4x^3 + 4x)' = -4*3x^2 + 4 = -12x^2 + 4
-12x^2 + 4 = 0
x^2 = 4/12 = 1/3
x1 = -1/sqrt(3); f(x1) = -(-1/sqrt(3))^4 + 2*(-1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
x2 = 1/sqrt(3); f(x1) = -(1/sqrt(3))^4 + 2*(1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
Промежутки: (-oo; -1/sqrt(3)); (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)); (1/sqrt(3); +oo)
f''(x) = -12x^2 + 4
f''(-1) = -12*(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (-oo; -1/sqrt(3)) функция выпукла.
f''(0) = -12*0 + 4 = 4 > 0
На промежутке (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)) функция вогнута.
f''(1) = -12*1^4 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (1/sqrt(3); +oo) функция выпукла.
Точки -1/sqrt(3); 1/sqrt(3) являются точками перегиба.
2 Вариант я делать не буду, он точно такой же.
Открыть в обсуждении →промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба для функций:
Вариант 1.
1) f(x) = 4x^3 - 2x^2
Критические точки 1 порядка - это точки, в которых первая производная f'(x) = 0
f'(x) = (4x^3 - 2x^2)' = 4*3x^2 - 2*2x = 12x^2 - 4x
f'(x) = 0
12x^2 - 4x = 0
4x*(3x - 1) = 0
x1 = 0; f(x1) = 4*0^3 - 2*0^2 = 0
x2 = 1/3; f(x2) = 4*(1/3)^3 - 2*(1/3)^2 = 4/27 - 2/9 = 4/27 - 6/27 = -2/27
Критические точки делят числовую прямую на промежутки:
(-oo; 0); (0; 1/3); (1/3; +oo)
Проверяем возрастание и убывание функции на этих промежутках.
f'(x) = 12x^2 - 4x
Если f'(x) < 0, то функция убывает. Если f'(x) > 0, то функция возрастает.
f'(-1) = 12*(-1)^2 - 4*(-1) = 12*1 + 4 = 16 > 0
На промежутке (-oo; 0) функция возрастает.
f'(1/4) = 12*(1/4)^2 - 4*1/4 = 12/16 - 1 = 3/4 - 1 = -1/4 < 0
На промежутке (0; 1/3) функция убывает.
f'(1) = 12*1^2 - 4*1 = 12 - 4 = 8 > 0
На промежутке (1/3; +oo) функция возрастает.
Значит, x1 = 0 - точка максимума, x2 = 1/3 - точка минимума.
Критические точки 2 порядка - это точки, в которых вторая производная f''(x) = 0
f''(x) = (12x^2 - 4x)' = 12*2x - 4 = 24x - 4
f''(x) = 0
24x - 4 = 0
24x = 4
x = 4/24 = 1/6; f(x) = 4*(1/6)^3 - 2*(1/6)^2 = 4/216 - 2/36 = 4/216 - 12/216 = -8/216
Критическая точка делит числовую прямую на промежутки:
(-oo; 1/6); (1/6; +oo)
Проверяем выпуклость и вогнутость функции на этих промежутках.
f''(x) = 24x - 4
Если f''(x) < 0, то функция выпукла. Если f''(x) > 0, то функция вогнута.
f''(-1) = 24*(-1) - 4 = -24 - 4 = -28 < 0
На промежутке (-oo; 1/6) функция выпукла.
f''(1) = 24*1 - 4 = 24 - 4 = 20 > 0
На промежутке (1/6; +oo) функция вогнута.
Значит, x1 = 1/6 - точка перегиба.
2) f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3
Я не буду расписывать подробно, схема та же самая.
f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 3)' = -4x^3 + 4x
-4x^3 + 4x = 0
-4x*(x^2 - 1) = 0
-4x(x + 1)(x - 1) = 0
x1 = -1; f(-1) = -(-1)^4 + 2*(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
x2 = 0; f(0) = -0^4 + 2*0^2 + 3 = 3
x3 = 1; f(1) = -1^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Промежутки: (-oo; -1); (-1; 0); (0; 1); (1; +oo)
f'(x) = -4x^3 + 4x
f'(-2) = -4*(-2)^3 + 4*(-2) = -4*(-8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0
На промежутке (-oo; -1) функция возрастает.
f'(-1/2) = -4*(-1/2)^3 + 4*(-1/2) = -4*(-1/8) - 4/2 = -4/8 - 2 = -2,5 < 0
На промежутке (-1; 0) функция убывает.
f'(1/2) = -4*(1/2)^3 + 4*(1/2) = -4*(1/8) + 4/2 = -4/8 + 2 = 1,5 > 0
На промежутке (0; 1) функция возрастает.
f'(2) = -4*2^3 + 4*2 = -4*8 + 8 = -32 + 8 = -24 < 0
На промежутке (1; +oo) функция убывает.
x1 = -1 - точка максимума, x2 = 0 - точка минимума, x3 = 1 - точка максимума.
f''(x) = (-4x^3 + 4x)' = -4*3x^2 + 4 = -12x^2 + 4
-12x^2 + 4 = 0
x^2 = 4/12 = 1/3
x1 = -1/sqrt(3); f(x1) = -(-1/sqrt(3))^4 + 2*(-1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
x2 = 1/sqrt(3); f(x1) = -(1/sqrt(3))^4 + 2*(1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
Промежутки: (-oo; -1/sqrt(3)); (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)); (1/sqrt(3); +oo)
f''(x) = -12x^2 + 4
f''(-1) = -12*(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (-oo; -1/sqrt(3)) функция выпукла.
f''(0) = -12*0 + 4 = 4 > 0
На промежутке (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)) функция вогнута.
f''(1) = -12*1^4 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (1/sqrt(3); +oo) функция выпукла.
Точки -1/sqrt(3); 1/sqrt(3) являются точками перегиба.
2 Вариант я делать не буду, он точно такой же.
z^3 = 1
Можно извлечь кубический корень:
[m]z= \sqrt[3]{1}[/m]
По формуле Муавра получаем 3 корня:
[m]z^3 = 1 = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0)[/m]
[m]r = 1;\ \phi = 0[/m]
[m]z = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3});\ k = 0,\ 1,\ 2[/m]
Получаем 3 корня:
[m]z1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3}) = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0) = 1[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3}) = 1(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{2 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3}) = 1(\cos \frac{4 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{4 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
А можно решить с помощью формулы разности кубов.
z^3 = 1
z^3 - 1 = 0
(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0
z1 = 1
Дальше решаем квадратное уравнение:
D = 1 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 = (i*sqrt(3))^2
[m]z2 = \frac{-1 + i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \frac{-1 - i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Корни получились те же самые.
Решения представлены на рисунке.
Открыть в обсуждении →Можно извлечь кубический корень:
[m]z= \sqrt[3]{1}[/m]
По формуле Муавра получаем 3 корня:
[m]z^3 = 1 = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0)[/m]
[m]r = 1;\ \phi = 0[/m]
[m]z = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3});\ k = 0,\ 1,\ 2[/m]
Получаем 3 корня:
[m]z1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3}) = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0) = 1[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3}) = 1(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{2 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3}) = 1(\cos \frac{4 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{4 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
А можно решить с помощью формулы разности кубов.
z^3 = 1
z^3 - 1 = 0
(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0
z1 = 1
Дальше решаем квадратное уравнение:
D = 1 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 = (i*sqrt(3))^2
[m]z2 = \frac{-1 + i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \frac{-1 - i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Корни получились те же самые.
Решения представлены на рисунке.
Шифровка: 1216151920115241033
Алфавит:
А=1, Б=2, В=3, Г=4, Д=5, Е=6, Ё=7, Ж=8, З=9, И=10, Й=11,
К=12, Л=13, М=14, Н=15, О=16, П=17, Р=18, С=19, Т=20, У=21, Ф=22,
Х=23, Ц=24, Ч=25, Ш=26, Щ=27, Ъ=28, Ы=29, Ь=30, Э=31, Ю=32, Я=33.
Начинаем разгадывать.
Допустим, в начале стоит 1, потом 2 и 1 = АБА или 1, потом 2 и 16 = АБО.
Оба варианта не подходят, с этих букв не начинается никакое женское имя.
Значит, в начале явно стоят числа 12 = К и 16 = О.
А далее 15 = Н, 19 = С, 20 = Т.
Дальше должно быть 1 = А, а не 11 = Й, потому что сочетание ТЙ невозможно.
И в конце 15 = Н, 24 = Ц, 10 = И, 33 = Я.
Ответ: Констанция.
Открыть в обсуждении →Алфавит:
А=1, Б=2, В=3, Г=4, Д=5, Е=6, Ё=7, Ж=8, З=9, И=10, Й=11,
К=12, Л=13, М=14, Н=15, О=16, П=17, Р=18, С=19, Т=20, У=21, Ф=22,
Х=23, Ц=24, Ч=25, Ш=26, Щ=27, Ъ=28, Ы=29, Ь=30, Э=31, Ю=32, Я=33.
Начинаем разгадывать.
Допустим, в начале стоит 1, потом 2 и 1 = АБА или 1, потом 2 и 16 = АБО.
Оба варианта не подходят, с этих букв не начинается никакое женское имя.
Значит, в начале явно стоят числа 12 = К и 16 = О.
А далее 15 = Н, 19 = С, 20 = Т.
Дальше должно быть 1 = А, а не 11 = Й, потому что сочетание ТЙ невозможно.
И в конце 15 = Н, 24 = Ц, 10 = И, 33 = Я.
Ответ: Констанция.
13.24. Смотрите рисунок.
Плоскость BMD я дополнил точкой N, нарисовал красным.
Сторону квадрата примем равной а. AB = BC = a, BM = a
Прямые AM и DM нарисовал зеленым.
1) Угол между прямой AB и плоскостью BMD - это угол между стороной квадрата AB и его диагональю BD. Я его обозначил дугой 1. Его найти совсем просто.
ABD = 45°.
2) Угол между прямой AM и плоскостью BMD - это угол между AM и диагональю DM.
Сначала нужно найти стороны треугольника AMD.
AD = a
BD = a*sqrt(2) - диагональ квадрата ABCD.
AM = a*sqrt(2) - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABM.
DM^2 = BD^2 + BM^2 - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника BMD.
DM^2 = a^2*2 + a^2 = a^2*3
DM = a*sqrt(3)
Зная три стороны, можно найти угол AMD из теоремы косинусов.
AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2*AM*DM*cos AMD
a^2 = a^2*2 + a^2*3 - 2*a*sqrt(2)*a*sqrt(3)*cos AMD
Делим всё на a^2:
1 = 2 + 3 - 2sqrt(6)*cos AMD
2sqrt(6)*cos AMD = 4
cos AMD = 2/sqrt(6) = 2sqrt(6)/6 = sqrt(6)/3 ≈ 0,8165
AMD = arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
Величину угла в градусах можно найти на калькуляторе или по таблицам Брадиса.
Ответ: 1) 45°, 2) arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
13.28. Смотрите рисунок.
Проекция стороны AB на плоскость α - это отрезок AH.
BAC = 60° по условию
BAH = 45° - это угол между AB и плоскостью α.
Нам нужно найти угол между стороной AC и проекцией стороны AB на плоскость α.
То есть нужно найти угол CAH.
Рассмотрим треугольник ABH - он прямоугольный с углом 45°, то есть равнобедренный.
AH = BH = a, обозначим эти стороны как a. Тогда AB = a*sqrt(2)
Можно применить одну хитрость.
Заметим, что угол CAH не зависит от длины стороны AC. Возьмем
AC = AB = a*sqrt(2).
Получили равнобедренный треугольник ABC с углом 60°, то есть равносторонний.
BC = AB = AC = a*sqrt(2)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.
Сторону HC я нарисовал зеленым.
У него катет BH = a, гипотенуза BC = a*sqrt(2). Значит, катет HC = a.
Получили треугольник ACH, у которого AC = a*sqrt(2), HC = a, AH = a
Это опять прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом AHC.
Угол CAH = 45°
Ответ: 45°
Открыть в обсуждении →Плоскость BMD я дополнил точкой N, нарисовал красным.
Сторону квадрата примем равной а. AB = BC = a, BM = a
Прямые AM и DM нарисовал зеленым.
1) Угол между прямой AB и плоскостью BMD - это угол между стороной квадрата AB и его диагональю BD. Я его обозначил дугой 1. Его найти совсем просто.
ABD = 45°.
2) Угол между прямой AM и плоскостью BMD - это угол между AM и диагональю DM.
Сначала нужно найти стороны треугольника AMD.
AD = a
BD = a*sqrt(2) - диагональ квадрата ABCD.
AM = a*sqrt(2) - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABM.
DM^2 = BD^2 + BM^2 - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника BMD.
DM^2 = a^2*2 + a^2 = a^2*3
DM = a*sqrt(3)
Зная три стороны, можно найти угол AMD из теоремы косинусов.
AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2*AM*DM*cos AMD
a^2 = a^2*2 + a^2*3 - 2*a*sqrt(2)*a*sqrt(3)*cos AMD
Делим всё на a^2:
1 = 2 + 3 - 2sqrt(6)*cos AMD
2sqrt(6)*cos AMD = 4
cos AMD = 2/sqrt(6) = 2sqrt(6)/6 = sqrt(6)/3 ≈ 0,8165
AMD = arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
Величину угла в градусах можно найти на калькуляторе или по таблицам Брадиса.
Ответ: 1) 45°, 2) arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
13.28. Смотрите рисунок.
Проекция стороны AB на плоскость α - это отрезок AH.
BAC = 60° по условию
BAH = 45° - это угол между AB и плоскостью α.
Нам нужно найти угол между стороной AC и проекцией стороны AB на плоскость α.
То есть нужно найти угол CAH.
Рассмотрим треугольник ABH - он прямоугольный с углом 45°, то есть равнобедренный.
AH = BH = a, обозначим эти стороны как a. Тогда AB = a*sqrt(2)
Можно применить одну хитрость.
Заметим, что угол CAH не зависит от длины стороны AC. Возьмем
AC = AB = a*sqrt(2).
Получили равнобедренный треугольник ABC с углом 60°, то есть равносторонний.
BC = AB = AC = a*sqrt(2)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.
Сторону HC я нарисовал зеленым.
У него катет BH = a, гипотенуза BC = a*sqrt(2). Значит, катет HC = a.
Получили треугольник ACH, у которого AC = a*sqrt(2), HC = a, AH = a
Это опять прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом AHC.
Угол CAH = 45°
Ответ: 45°
Первым ходом раскладываем карты на 8 стопок с количеством карт
от 1 до 8. Сумма как раз подходит:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
Король указывает, в какой стопке находится загаданная карта.
Вторым ходом берем эту стопку и раскладываем ее по одной карте на стол.
А сверху на эти карты кладем остальные, так чтобы опять получилось
8 стопок с количеством карт от 1 до 8.
Король снова указывает, в какой стопке карта.
Загаданная карта будет самой нижней в указанной стопке.
Открыть в обсуждении →от 1 до 8. Сумма как раз подходит:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
Король указывает, в какой стопке находится загаданная карта.
Вторым ходом берем эту стопку и раскладываем ее по одной карте на стол.
А сверху на эти карты кладем остальные, так чтобы опять получилось
8 стопок с количеством карт от 1 до 8.
Король снова указывает, в какой стопке карта.
Загаданная карта будет самой нижней в указанной стопке.
Если написать факториалы натуральных чисел:
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
То ясно, что сумма цифр может быть только 6 или 24. А скорее всего, она равна 24.
Дальше. Сумма двух 10-значных чисел равна факториалу.
Ясно, что сумма двух 10-значных чисел будет 10-значной или 11-значной.
12! = 479001600 - 9 цифр - сразу не подходит.
13! = 6227020800 - 10 цифр - подходит.
14! = 87178291200 - 11 цифр - может быть, но надо проверить.
Сумма двух максимальных 10-значных чисел:
9999999999 + 9999999999 = 19999999998 < 14!
Значит, сумма двух 10-значных чисел точно равна 13! = 6227020800
А разность тоже равна факториалу. Это может быть любой факториал от 1! до 12!.
Мне удалось подобрать единственное решение:
{ x + y = 6227020800 = 13!
{ x - y = 120 = 5!
x = 3113510460, сумма цифр 3+1+1+3+5+1+0+4+6+0 = 24 = 4!
y = 3113510340
Кстати, решение той начальной задачи с семизначными числами:
{ x + y = 3628800 = 10!
{ x - y = 120 = 5!
x = 1814460, сумма цифр 1 + 8 + 1 + 4 + 4 + 6 + 0 = 24 = 4!
y = 1814340
Открыть в обсуждении →1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
То ясно, что сумма цифр может быть только 6 или 24. А скорее всего, она равна 24.
Дальше. Сумма двух 10-значных чисел равна факториалу.
Ясно, что сумма двух 10-значных чисел будет 10-значной или 11-значной.
12! = 479001600 - 9 цифр - сразу не подходит.
13! = 6227020800 - 10 цифр - подходит.
14! = 87178291200 - 11 цифр - может быть, но надо проверить.
Сумма двух максимальных 10-значных чисел:
9999999999 + 9999999999 = 19999999998 < 14!
Значит, сумма двух 10-значных чисел точно равна 13! = 6227020800
А разность тоже равна факториалу. Это может быть любой факториал от 1! до 12!.
Мне удалось подобрать единственное решение:
{ x + y = 6227020800 = 13!
{ x - y = 120 = 5!
x = 3113510460, сумма цифр 3+1+1+3+5+1+0+4+6+0 = 24 = 4!
y = 3113510340
Кстати, решение той начальной задачи с семизначными числами:
{ x + y = 3628800 = 10!
{ x - y = 120 = 5!
x = 1814460, сумма цифр 1 + 8 + 1 + 4 + 4 + 6 + 0 = 24 = 4!
y = 1814340
Смотрите рисунок.
M - середина ребра DD1.
BCMK - это и есть плоскость BCK, показана красным.
Отрезок B1N ⊥ BK - это расстояние от B1 до плоскости BCK, показан зеленым.
Его нам и нужно найти.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.
AB = a, AK = a/2
[m]BK = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Отрезок B1K = BK, тоже показан зеленым.
Рассмотрим треугольник BB1K.
[m]B1K = BK = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2},\ \ BB1 = a[/m]
Зная три стороны треугольника, можно найти высоту B1N.
[m]S(BB1K) = \frac{1}{2} \cdot S(ABB1A1) = \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{a^2}{2}[/m]
[m]B1N = \frac{2 \cdot S(BB1K)}{BK} = 2 \cdot \frac{a^2}{2} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{2a^2}{a \cdot \sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}[/m]
Ответ: [m]\frac{2a\sqrt{5}}{5}[/m]
Открыть в обсуждении →M - середина ребра DD1.
BCMK - это и есть плоскость BCK, показана красным.
Отрезок B1N ⊥ BK - это расстояние от B1 до плоскости BCK, показан зеленым.
Его нам и нужно найти.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.
AB = a, AK = a/2
[m]BK = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Отрезок B1K = BK, тоже показан зеленым.
Рассмотрим треугольник BB1K.
[m]B1K = BK = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2},\ \ BB1 = a[/m]
Зная три стороны треугольника, можно найти высоту B1N.
[m]S(BB1K) = \frac{1}{2} \cdot S(ABB1A1) = \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{a^2}{2}[/m]
[m]B1N = \frac{2 \cdot S(BB1K)}{BK} = 2 \cdot \frac{a^2}{2} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{2a^2}{a \cdot \sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}[/m]
Ответ: [m]\frac{2a\sqrt{5}}{5}[/m]
Смотрите Рис. 1 и Рис. 2.
На Рис. 1 изображена часть графика от 0 до 3.
В точке чуть больше 3 график пересекает ось Ox и дальше идёт очень близко к оси.
На Рис. 2. изображена увеличенная часть того же графика от 3 до 5,5.
Примерно на 5,5 график опять пересекает ось Ox
Теперь что касается самого интеграла. Интеграл показывает площадь под кривой.
На обоих рисунках площадь закрашена зелёным цветом.
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x dx[/m]
Сначала решаем сам интеграл методом по частям.
[m]u = \sin x,\ dv = e^{-x} dx,\ du = \cos x\ dx,\ v = -e^{-x}[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x - \int (-e^{-x}) \cos x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x + \int e^{-x} \cdot \cos x\ dx[/m]
Новый интеграл берем опять по частям, причем нужно опять взять u = cos x
[m]u = \cos x,\ dv = e^{-x} dx,\ du = -\sin x,\ v = -e^{-x}[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x + (-e^{-x}) \cdot \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x)\ dx[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -2e^{-x} \cdot \cos x - \int e^{-x} \cdot \sin x\ dx[/m]
Обозначим [m]\int e^{-x} \cdot \sin x dx = I[/m]. Получили интересное уравнение:
[m]I = -2e^{-x} \cdot \cos x - I[/m]
[m]2 \cdot I = -2e^{-x} \cdot \cos x[/m]
[m]I = \int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x[/m]
Теперь решаем несобственный интеграл через предел:
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x\ dx = \lim \limits_{x \to \infty} (-e^{-x} \cdot \cos x) - (-e^{-0} \cdot \cos 0)[/m]
Заметим, что cos x - ограниченная функция, она принимает значения от -1 до 1.
А предел [m]\lim \limits_{x \to \infty} (e^{-x}) = 0[/m]
При умножении ограниченной функции на 0 получается 0. Поэтому:
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -\lim \limits_{x \to \infty} (e^{-x} \cdot \cos x) - (-e^{-0} \cdot \cos 0) = 0 + 1 \cdot 1 = 1[/m]
Ответ: 1
Открыть в обсуждении →На Рис. 1 изображена часть графика от 0 до 3.
В точке чуть больше 3 график пересекает ось Ox и дальше идёт очень близко к оси.
На Рис. 2. изображена увеличенная часть того же графика от 3 до 5,5.
Примерно на 5,5 график опять пересекает ось Ox
Теперь что касается самого интеграла. Интеграл показывает площадь под кривой.
На обоих рисунках площадь закрашена зелёным цветом.
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x dx[/m]
Сначала решаем сам интеграл методом по частям.
[m]u = \sin x,\ dv = e^{-x} dx,\ du = \cos x\ dx,\ v = -e^{-x}[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x - \int (-e^{-x}) \cos x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x + \int e^{-x} \cdot \cos x\ dx[/m]
Новый интеграл берем опять по частям, причем нужно опять взять u = cos x
[m]u = \cos x,\ dv = e^{-x} dx,\ du = -\sin x,\ v = -e^{-x}[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x + (-e^{-x}) \cdot \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x)\ dx[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -2e^{-x} \cdot \cos x - \int e^{-x} \cdot \sin x\ dx[/m]
Обозначим [m]\int e^{-x} \cdot \sin x dx = I[/m]. Получили интересное уравнение:
[m]I = -2e^{-x} \cdot \cos x - I[/m]
[m]2 \cdot I = -2e^{-x} \cdot \cos x[/m]
[m]I = \int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x[/m]
Теперь решаем несобственный интеграл через предел:
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x\ dx = \lim \limits_{x \to \infty} (-e^{-x} \cdot \cos x) - (-e^{-0} \cdot \cos 0)[/m]
Заметим, что cos x - ограниченная функция, она принимает значения от -1 до 1.
А предел [m]\lim \limits_{x \to \infty} (e^{-x}) = 0[/m]
При умножении ограниченной функции на 0 получается 0. Поэтому:
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -\lim \limits_{x \to \infty} (e^{-x} \cdot \cos x) - (-e^{-0} \cdot \cos 0) = 0 + 1 \cdot 1 = 1[/m]
Ответ: 1
4.Условие задачи написано нечетко.
Длина стороны равностороннего треугольника - какая?
Написано 4π sqrt(3) см, но π явно зачеркнуто. Получается a = 4sqrt(3) см.
Точка М, которая находится на расстоянии 5 см от всех вершин треугольника, лежит точно над центром описанной окружности треугольника.
У равностороннего треугольника радиус описанной окружности:
R = a/sqrt(3) = 4sqrt(3)/sqrt(3) = 4 см
Получается прямоугольный треугольник MOA. Смотрите рисунок.
На рисунке слева показан треугольник ABC и его центр O.
На рисунке справа показана плоскость треугольника AOB и точка M над ней.
R = OA = 4 см, AM = 5 см.
Расстояние от точки M до плоскости можно вычислить по теореме Пифагора.
Это известный египетский треугольник.
H = OM = 3 см.
Ответ: 3 см.
Открыть в обсуждении →Длина стороны равностороннего треугольника - какая?
Написано 4π sqrt(3) см, но π явно зачеркнуто. Получается a = 4sqrt(3) см.
Точка М, которая находится на расстоянии 5 см от всех вершин треугольника, лежит точно над центром описанной окружности треугольника.
У равностороннего треугольника радиус описанной окружности:
R = a/sqrt(3) = 4sqrt(3)/sqrt(3) = 4 см
Получается прямоугольный треугольник MOA. Смотрите рисунок.
На рисунке слева показан треугольник ABC и его центр O.
На рисунке справа показана плоскость треугольника AOB и точка M над ней.
R = OA = 4 см, AM = 5 см.
Расстояние от точки M до плоскости можно вычислить по теореме Пифагора.
Это известный египетский треугольник.
H = OM = 3 см.
Ответ: 3 см.
1.Смотрите Рис. 1. Сечение - треугольник AB1C1, показанный красным.
Треугольник ABB1 - прямоугольный и равнобедренный.
Катеты AB = BB1 = 1, гипотенуза AB1 = sqrt(2).
Треугольник ACC1 - такой же, гипотенуза AC1 = sqrt(2).
Получается, что треугольник AB1C1 - равнобедренный, со сторонами:
B1C1 = 1, AB1 = AC1 = sqrt(2).
Его площадь можно найти по формуле Герона:
p = (B1C1 + AB1 + AC1)/2 = (1 + 2sqrt(2))/2 = sqrt(2) + 1/2
p - B1C1 = sqrt(2) + 1/2 - 1 = sqrt(2) - 1/2
p - AB1 = p - AC1 = sqrt(2) + 1/2 - sqrt(2) = 1/2
[m]S = \sqrt{p(p-B1C1)(p-AB1)(p-AC1)} = \sqrt{(\sqrt{2} + \frac{1}{2})(\sqrt{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7}{4}}= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}[/m]
Ответ: [m]S = \frac{\sqrt{7}}{4}[/m]
2.Смотрите Рис. 2. Сечение - трапеция BDFE, показана красным.
Отрезок EF || B1D1, F - середина ребра A1D1.
Площадь трапеции:
[m]S = \frac{BD + EF}{2} \cdot H[/m]
Трапеция BDFE показана отдельно справа.
BD - диагональ куба, ее длина BD = AB*sqrt(2) = 2sqrt(2)*sqrt(2) = 4
EF - средняя линия треугольника A1B1D1.
EF = B1D1/2 = BD/2 = 4/2 = 2
MN = EF = 2
MB = DN = (BD - MN)/2 = (4 - 2)/2 = 1
Из прямоугольного треугольника BB1E получаем:
B1E = A1B1/2 = 2sqrt(2)/2 = sqrt(2)
По теореме Пифагора:
[m]BE = \sqrt{BB1^2 + B1E^2} = \sqrt{(2sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}[/m]
Из прямоугольного треугольника BME:
[m]H = EM = \sqrt{BE^2 - MB^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = \sqrt{10 - 1} = 3[/m]
Теперь можно найти площадь трапеции:
[m]S = \frac{BD + EF}{2} \cdot H = \frac{4 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 9[/m]
Ответ: [m]S = 9[/m]
3.Смотрите Рис. 3. Сечение - квадрат KLMN, показанный красным.
Так как точки K, L, M, N - середины боковых ребер AS, BS, CS, DS, то
KL = LM = MN = NK = 1/2 - средние линии боковых граней.
[m]S = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}[/m]
Ответ: [m]S = \frac{1}{4}[/m]
Открыть в обсуждении →Треугольник ABB1 - прямоугольный и равнобедренный.
Катеты AB = BB1 = 1, гипотенуза AB1 = sqrt(2).
Треугольник ACC1 - такой же, гипотенуза AC1 = sqrt(2).
Получается, что треугольник AB1C1 - равнобедренный, со сторонами:
B1C1 = 1, AB1 = AC1 = sqrt(2).
Его площадь можно найти по формуле Герона:
p = (B1C1 + AB1 + AC1)/2 = (1 + 2sqrt(2))/2 = sqrt(2) + 1/2
p - B1C1 = sqrt(2) + 1/2 - 1 = sqrt(2) - 1/2
p - AB1 = p - AC1 = sqrt(2) + 1/2 - sqrt(2) = 1/2
[m]S = \sqrt{p(p-B1C1)(p-AB1)(p-AC1)} = \sqrt{(\sqrt{2} + \frac{1}{2})(\sqrt{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7}{4}}= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}[/m]
Ответ: [m]S = \frac{\sqrt{7}}{4}[/m]
2.Смотрите Рис. 2. Сечение - трапеция BDFE, показана красным.
Отрезок EF || B1D1, F - середина ребра A1D1.
Площадь трапеции:
[m]S = \frac{BD + EF}{2} \cdot H[/m]
Трапеция BDFE показана отдельно справа.
BD - диагональ куба, ее длина BD = AB*sqrt(2) = 2sqrt(2)*sqrt(2) = 4
EF - средняя линия треугольника A1B1D1.
EF = B1D1/2 = BD/2 = 4/2 = 2
MN = EF = 2
MB = DN = (BD - MN)/2 = (4 - 2)/2 = 1
Из прямоугольного треугольника BB1E получаем:
B1E = A1B1/2 = 2sqrt(2)/2 = sqrt(2)
По теореме Пифагора:
[m]BE = \sqrt{BB1^2 + B1E^2} = \sqrt{(2sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}[/m]
Из прямоугольного треугольника BME:
[m]H = EM = \sqrt{BE^2 - MB^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = \sqrt{10 - 1} = 3[/m]
Теперь можно найти площадь трапеции:
[m]S = \frac{BD + EF}{2} \cdot H = \frac{4 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 9[/m]
Ответ: [m]S = 9[/m]
3.Смотрите Рис. 3. Сечение - квадрат KLMN, показанный красным.
Так как точки K, L, M, N - середины боковых ребер AS, BS, CS, DS, то
KL = LM = MN = NK = 1/2 - средние линии боковых граней.
[m]S = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}[/m]
Ответ: [m]S = \frac{1}{4}[/m]
а) Ox; x = -2; x = -5; y = -x^2 - 6x
Совсем простой интеграл, и даже пределы известны.
[m]S= \int \limits_{-5}^{-2} (-x^2 - 6x) dx = (-\frac{x^3}{3} - 3x^2) \bigg |{-5}^{-2} = (-\frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2) - (-\frac{(-5)^3}{3} - 3(-5)^2) [/m]
[m]= -\frac{-8}{3} - 3 \cdot 4 + \frac{-125}{3} + 3 \cdot 25 = [/m]
[m]= \frac{8}{3} - 12 - \frac{125}{3} + 75 = 63 - \frac{117}{3} = 63 - 39 = 24[/m]
Ответ: [b]S = 24[/b]
б) Ox; y = x^2 + 2x - 3; y = x - 1
Смотрите Рис. 1. Нужная нам область показана зеленым цветом.
Чуть сложнее, сначала надо найти пределы интегрирования.
Для этого приравниваем функции и решаем уравнение.
1) x^2 + 2x - 3 = 0 (Ось Ox - это прямая y = 0)
(x + 3)(x - 1) = 0
x1 = -3; x2 = 1
2) x - 1 = 0
x = 1
3) x^2 + 2x - 3 = x - 1
x^2 + x - 2 = 0
(x - 1)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 1
Область удобно разделить на две по линии x = -2, это тонкая черная линия.
Площадь находим как сумму двух интегралов:
[m]S = \int \limits{-3}^{-2} (0 - x^2 - 2x + 3) dx + \int \limits_{-2}^{1} (0 - x + 1) dx[/m]
Так как обе части находятся под осью Ox, то мы обе функции вычитаем из 0.
[m]S = (- \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x) \bigg |{-3}^{-2} + (- \frac{x^2}{2} + x) \bigg |{-2}^{1} =[/m]
[m] (- \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 3(-2)) - (- \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3)) +[/m]
[m]+ (- \frac{1^2}{2} + 1) - (- \frac{(-2)^2}{2} + (-2)) =[/m]
[m]= - \frac{-8}{3} - 4 + (-6) + \frac{-27}{3} + 9 - (-9) + (- \frac{1}{2}) + 1 + 2 - (-2) =[/m]
[m]= \frac{8}{3} - 10 - 9 + 18 - \frac{1}{2} + 5 = [/m]
[m]= 4 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} = 4 + \frac{16}{6} - \frac{3}{6} = 4 + \frac{13}{6} = 4 + 2\frac{1}{6}= 6\frac{1}{6}[/m]
Ответ: [b]S = 6 1/6 = 37/6[/b]
в) y = -x^2 + 9, y = x + 3
Смотрите Рис. 2. Нужная область показана зеленым цветом.
Здесь ось Ox не учитывается, поэтому просто приравниваем функции.
-x^2 + 9 = x + 3
0 = x^2 + x + 3 - 9
x^2 + x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 3
Подставляем в функции любое число из отрезка [-2; 3], например, x = 0
y = -0^2 + 9 = 9; y = 0 + 3 = 3
9 > 3, значит, парабола на этом отрезке лежит выше прямой.
Поэтому параболу берем с плюсом, а прямую с минусом.
[m]S = \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + 9 - (x + 3)) dx = \int \limits_{-2}^3 (-x^2 - x + 6) dx = (- \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x) \bigg |_{-2}^3[/m]
Здесь всё проще, интеграл только один.
[m]S = (- \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3) - (- \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(2)^2}{2} + 6(-2)) =[/m]
[m]= - \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 18 + \frac{-8}{3} + 2 - (-12) =[/m]
[m]= -9 - \frac{9}{2} + 18 - \frac{8}{3} + 2 + 12 = 23 - \frac{9}{2} - \frac{8}{3} =[/m]
[m]= 23 - \frac{27}{6} - \frac{16}{6} = 23 - \frac{43}{6} = 23 - 7 \frac{1}{6} = 16 - \frac{1}{6} = 15 \frac{5}{6}[/m]
Ответ: [b]S = 15 5/6 = 95/6[/b]
Открыть в обсуждении →Совсем простой интеграл, и даже пределы известны.
[m]S= \int \limits_{-5}^{-2} (-x^2 - 6x) dx = (-\frac{x^3}{3} - 3x^2) \bigg |{-5}^{-2} = (-\frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2) - (-\frac{(-5)^3}{3} - 3(-5)^2) [/m]
[m]= -\frac{-8}{3} - 3 \cdot 4 + \frac{-125}{3} + 3 \cdot 25 = [/m]
[m]= \frac{8}{3} - 12 - \frac{125}{3} + 75 = 63 - \frac{117}{3} = 63 - 39 = 24[/m]
Ответ: [b]S = 24[/b]
б) Ox; y = x^2 + 2x - 3; y = x - 1
Смотрите Рис. 1. Нужная нам область показана зеленым цветом.
Чуть сложнее, сначала надо найти пределы интегрирования.
Для этого приравниваем функции и решаем уравнение.
1) x^2 + 2x - 3 = 0 (Ось Ox - это прямая y = 0)
(x + 3)(x - 1) = 0
x1 = -3; x2 = 1
2) x - 1 = 0
x = 1
3) x^2 + 2x - 3 = x - 1
x^2 + x - 2 = 0
(x - 1)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 1
Область удобно разделить на две по линии x = -2, это тонкая черная линия.
Площадь находим как сумму двух интегралов:
[m]S = \int \limits{-3}^{-2} (0 - x^2 - 2x + 3) dx + \int \limits_{-2}^{1} (0 - x + 1) dx[/m]
Так как обе части находятся под осью Ox, то мы обе функции вычитаем из 0.
[m]S = (- \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x) \bigg |{-3}^{-2} + (- \frac{x^2}{2} + x) \bigg |{-2}^{1} =[/m]
[m] (- \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 3(-2)) - (- \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3)) +[/m]
[m]+ (- \frac{1^2}{2} + 1) - (- \frac{(-2)^2}{2} + (-2)) =[/m]
[m]= - \frac{-8}{3} - 4 + (-6) + \frac{-27}{3} + 9 - (-9) + (- \frac{1}{2}) + 1 + 2 - (-2) =[/m]
[m]= \frac{8}{3} - 10 - 9 + 18 - \frac{1}{2} + 5 = [/m]
[m]= 4 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} = 4 + \frac{16}{6} - \frac{3}{6} = 4 + \frac{13}{6} = 4 + 2\frac{1}{6}= 6\frac{1}{6}[/m]
Ответ: [b]S = 6 1/6 = 37/6[/b]
в) y = -x^2 + 9, y = x + 3
Смотрите Рис. 2. Нужная область показана зеленым цветом.
Здесь ось Ox не учитывается, поэтому просто приравниваем функции.
-x^2 + 9 = x + 3
0 = x^2 + x + 3 - 9
x^2 + x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 3
Подставляем в функции любое число из отрезка [-2; 3], например, x = 0
y = -0^2 + 9 = 9; y = 0 + 3 = 3
9 > 3, значит, парабола на этом отрезке лежит выше прямой.
Поэтому параболу берем с плюсом, а прямую с минусом.
[m]S = \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + 9 - (x + 3)) dx = \int \limits_{-2}^3 (-x^2 - x + 6) dx = (- \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x) \bigg |_{-2}^3[/m]
Здесь всё проще, интеграл только один.
[m]S = (- \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3) - (- \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(2)^2}{2} + 6(-2)) =[/m]
[m]= - \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 18 + \frac{-8}{3} + 2 - (-12) =[/m]
[m]= -9 - \frac{9}{2} + 18 - \frac{8}{3} + 2 + 12 = 23 - \frac{9}{2} - \frac{8}{3} =[/m]
[m]= 23 - \frac{27}{6} - \frac{16}{6} = 23 - \frac{43}{6} = 23 - 7 \frac{1}{6} = 16 - \frac{1}{6} = 15 \frac{5}{6}[/m]
Ответ: [b]S = 15 5/6 = 95/6[/b]
Если параллелепипед описан около цилиндра, то у него квадратное основание.
Радиус цилиндра равен 2, значит, диаметр равен 4. Это и есть сторона квадрата.
Объем цидиндра равен 64.
V(цил) = π*R^2*H
π*2^2*H = 64
4π*H = 64
H = 64/(4π) = 16/π
Ответ: 16/π ≈ 5,093
Открыть в обсуждении →Радиус цилиндра равен 2, значит, диаметр равен 4. Это и есть сторона квадрата.
Объем цидиндра равен 64.
V(цил) = π*R^2*H
π*2^2*H = 64
4π*H = 64
H = 64/(4π) = 16/π
Ответ: 16/π ≈ 5,093
Показательная функция это функция вида
y = a^(x), где a > 0. Это обязательное условие!
При a ∈ (0; 1) это убывающая функция. На рисунке 1 показана функция y = 0,5^(x)
При a = 1 это горизонтальная прямая y = 1.
При a > 1 это возрастающая функция. На рисунке 2 показана функция y = 2^(x)
Как видим, график строго монотонный - убывающий или возрастающий.
На минус бесконечности он стремится к 0, но всегда остается больше 0.
Самое главное - функция возрастает или убывает со скоростью, пропорциональной значению самой функции в данной точке!
Это можно понять, если знать, как рассчитывается производная данной функции.
y' = (a^(x))' = a^(x)*ln a
Есть особое число e ≈ 2,71828182835... Это основание натуральных логарифмов.
Функция y = e^(x) имеет производную, равную сама себе:
y' = (e^(x)) = e^(x)
Это свойства функции.
А вот про применение в смежных областях я ничего особенного сказать не могу.
Если только про цепную реакцию в физике.
Она описывается тоже показательным уравнением, и при увеличении количества ядер на небольшое число происходит взрывная реакция, и количество выпущенных ядер становится непропорционально огромным.
Открыть в обсуждении →y = a^(x), где a > 0. Это обязательное условие!
При a ∈ (0; 1) это убывающая функция. На рисунке 1 показана функция y = 0,5^(x)
При a = 1 это горизонтальная прямая y = 1.
При a > 1 это возрастающая функция. На рисунке 2 показана функция y = 2^(x)
Как видим, график строго монотонный - убывающий или возрастающий.
На минус бесконечности он стремится к 0, но всегда остается больше 0.
Самое главное - функция возрастает или убывает со скоростью, пропорциональной значению самой функции в данной точке!
Это можно понять, если знать, как рассчитывается производная данной функции.
y' = (a^(x))' = a^(x)*ln a
Есть особое число e ≈ 2,71828182835... Это основание натуральных логарифмов.
Функция y = e^(x) имеет производную, равную сама себе:
y' = (e^(x)) = e^(x)
Это свойства функции.
А вот про применение в смежных областях я ничего особенного сказать не могу.
Если только про цепную реакцию в физике.
Она описывается тоже показательным уравнением, и при увеличении количества ядер на небольшое число происходит взрывная реакция, и количество выпущенных ядер становится непропорционально огромным.
Очень много заданий, я решу только 1 лист.
18.6.1.6.
{ (x - 3)(y + 3x - 9) = |x - 3|^3
{ y = x + a
Имеет ровно 4 различных решения.
График показан на Рис. 1. Здесь показан случай a = 3.
Как видим, графики пересекаются максимум в 3 точках, система имеет 3 решения.
Чтобы система имела 4 решения - такого нет никогда.
При a = -7 и a = 1 будет 2 решений. При a ∈ (-7; 1) будет 3 решения.
18.6.1.4.
{ x^2 - 8x + y^2 + 4y + 15 = 4*|2x - y - 10|
{ x - y = a
Имеет больше 2 различных решений.
График показан на Рис. 2. Здесь показан случай a = 5.
Как видим, графики пересекаются максимум в 2 точках, система имеет 2 решения.
Чтобы система имела больше 2 решений - такого нет никогда.
При a ≈ -7,1 и a ≈ 19,1 будет 1 решение. При a ∈ (-7,1; 19,1) будет 2 решения.
18.6.1.5.
{ x^2 + 5x + y^2 + y - |x + 5y + 5| = 52
{ y + 2 = a(x - 5)
Имеет ровно 2 различных решения.
Графики показаны на Рис. 3 при a = 1,7 и Рис. 4 при а = -10.
Этот график самый интересный, тут прямая не двигается, а поворачивается.
Она всегда будет пересекать кривую как минимум в 2 точках.
На рисунках показаны крайние точки (примерно), в которых есть 2 решения.
При a ∈ (-10; 1,7) будет 2 решения.
При a < -10 и a > 1,7 будет 3 решения.
18.6.1.6. на 2 листе.
{ x(x^2 + y^2 - y - 2) = |x|*(y - 2)
{ y = x + a
Имеет 3 различных решения.
Графики показаны на Рис. 5 при а = 0 и Рис. 6 при а = -0,42.
На рисунках показаны крайние точки.
При а = 0 (точно) будет 3 решения. При a > 0 будет 2, 1 или 0 решений.
При a ≈ -0,42 будет 2 решения. При a < -0,42 будет 2, 1 или 0 решений.
При a ∈ (-0,42; 0] будет 3 решения.
Открыть в обсуждении →18.6.1.6.
{ (x - 3)(y + 3x - 9) = |x - 3|^3
{ y = x + a
Имеет ровно 4 различных решения.
График показан на Рис. 1. Здесь показан случай a = 3.
Как видим, графики пересекаются максимум в 3 точках, система имеет 3 решения.
Чтобы система имела 4 решения - такого нет никогда.
При a = -7 и a = 1 будет 2 решений. При a ∈ (-7; 1) будет 3 решения.
18.6.1.4.
{ x^2 - 8x + y^2 + 4y + 15 = 4*|2x - y - 10|
{ x - y = a
Имеет больше 2 различных решений.
График показан на Рис. 2. Здесь показан случай a = 5.
Как видим, графики пересекаются максимум в 2 точках, система имеет 2 решения.
Чтобы система имела больше 2 решений - такого нет никогда.
При a ≈ -7,1 и a ≈ 19,1 будет 1 решение. При a ∈ (-7,1; 19,1) будет 2 решения.
18.6.1.5.
{ x^2 + 5x + y^2 + y - |x + 5y + 5| = 52
{ y + 2 = a(x - 5)
Имеет ровно 2 различных решения.
Графики показаны на Рис. 3 при a = 1,7 и Рис. 4 при а = -10.
Этот график самый интересный, тут прямая не двигается, а поворачивается.
Она всегда будет пересекать кривую как минимум в 2 точках.
На рисунках показаны крайние точки (примерно), в которых есть 2 решения.
При a ∈ (-10; 1,7) будет 2 решения.
При a < -10 и a > 1,7 будет 3 решения.
18.6.1.6. на 2 листе.
{ x(x^2 + y^2 - y - 2) = |x|*(y - 2)
{ y = x + a
Имеет 3 различных решения.
Графики показаны на Рис. 5 при а = 0 и Рис. 6 при а = -0,42.
На рисунках показаны крайние точки.
При а = 0 (точно) будет 3 решения. При a > 0 будет 2, 1 или 0 решений.
При a ≈ -0,42 будет 2 решения. При a < -0,42 будет 2, 1 или 0 решений.
При a ∈ (-0,42; 0] будет 3 решения.