udachnik

y = -x^2 + 4; y = 2 - x
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, надо взять интеграл.
Сначала найдем пределы интегрирования, в которых графики пересекаются.
-x^2 + 4 = 2 - x
0 = 2 - x + x^2 - 4
x^2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x1 = -1; x2 = 2
На промежутке (-1; 2) график параболы лежит выше прямой, поэтому параболу берем с плюсом, а прямую с минусом:
[m]S = \int \limits_{-1}^{2} ((-x^2 + 4) - (2 - x)) dx = \int \limits_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx =[/m]
[m]= -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \bigg |_{-1}^{2} = (-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2) - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) =[/m]
[m]= -\frac{8}{3} + 2 + 4 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2}= 4,5[/m]
Ответ: S = 4,5

[b]y = x^4 - 8x^2 + 16[/b]
Схема исследования функции.
1.Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Область определения [b]D(Y) = R[/b]. Точек разрыва нет.

2.Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальных асимптот нет.

3.Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Точка пересечения с осью Oy: x = 0; [b]y(0) = 16[/b]
Точки пересечения с осью Ox: [b]y = 0[/b]
x^4 - 8x^2 + 16 = 0
(x^2 - 4)^2 = 0
x^2 - 4 = 0
(x + 2)(x - 2) = 0
[b]x1 = -2; x2 = 2[/b]
Промежутки знакопостоянства.
x^4 - 8x^2 + 16 > 0
(x^2 - 4)^2 > 0
Это верно при любых x ≠ -2; x ≠ 2

4.Определить, является ли функция чётной или нечётной.
y(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 + 16 = x^4 - 8x^2 + 16 = y(x)
[b]Функция чётная.[/b]

5.Определить, является ли функция периодической.
[b]Функция непериодическая.[/b]

6.Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0
y' = (x^4 - 8x^2 + 16)' = 4x^3 - 16x = 4x*(x^2 - 4) = 0
4x(x + 2)(x - 2) = 0
[b]x1 = -2, x2 = 0, x3 = 2[/b]
Промежутки возрастания и убывания.
При x < -2, например, при x = -3 будет
y'(-3) = 4(-3)(-3+2)(-3-2) = 4(-3)(-1)(-5) = -60 < 0 - функция убывает.
При x ∈ (-2; 0), например, при x = -1 будет
y'(-1) = 4(-1)(-1+2)(-1-2) = 4(-1)*1(-3) = 12 > 0 - функция возрастает.
При x ∈ (0; 2), например, при x = 1 будет
y'(1) = 4*1(1+2)(1-2) = 4*1*3(-1) = -12 < 0 - функция убывает.
При x > 2, например, при x = 3 будет
y'(3) = 4*3(3+2)(3-2) = 4*3*5*1 = 60 > 0 - функция возрастает.

7.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0
y'' = (4x^3 - 16x)' = 12x^2 - 16 = 4(3x^2 - 4) = 0
4(sqrt(3)*x + 2)(sqrt(3)*x - 2) = 0
[b]x1 = -2/sqrt(3); x2 = 2/sqrt(3)[/b]
Промежутки выпуклости и вогнутости.
При x < -2/sqrt(3), например, при x = -2, будет
y''(-2) = 4(3*(-2)^2 - 4) = 4(3*4 - 4) = 4*8 = 32 > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).
При x ∈ (-2/sqrt(3); 2/sqrt(3)), например, при x = 0, будет
y''(0) = 4(3*0 - 4) = 4(-4) = -16 < 0 - график выпуклый (выпуклый вверх).
При x > 2/sqrt(3), например, при x = 2, будет:
y''(2) = 4(3*2^2 - 4) = 4(3*4 - 4) = = 4*8 = 32 > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).

8.Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты, если они есть, имеют формулу:
f(x) = kx + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x};\ \ \ b= k = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - k \cdot x)[/m]
Ищем эти коэффициенты:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^4 - 8x^2 + 16}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} (x^3 - 8x + \frac{16}{x}) = \infty[/m]
Так как k = oo, то наклонных асимптот нет.

9.Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
Точки перегиба:
[m]y(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = y(\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^4 - 8(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + 16 =\frac{16}{9} - 8 \cdot \frac{4}{3} + 16 =[/m]
[m]= \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 16 = \frac{16}{9} - \frac{96}{9} + 16 = 16 - \frac{80}{9} = 16 - 8 \frac{8}{9} = 7 \frac{1}{9}[/m]

10.Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на рисунке. Точки экстремумов так видны. Точки перегибов P1 и P2.

Чтобы сумма кубов и квадратов цифр оказалась не меньше числа, состоящего из этих цифр, очевидно, что цифры должны быть как можно больше.
И надо брать в основном нечетные цифры, потому что кубы больше, чем квадраты.
То есть число должно включать в себя как можно больше цифр 9. Найдем его куб:
9^3 = 729
Пусть у нас число будет 4-значное.
Заметим, что если в числе есть две 9, то получится сумма не меньше, чем:
9^3 + 9^3 = 729 + 729 = 1458.
Возьмем число, например, 1499:
1^3 + 4^2 + 9^3 + 9^3 = 1 + 16 + 2*729 = 17 + 1458 = 1475 < 1499
Чуть снизим, возьмем 1399:
1^3 + 3^3 + 9^3 + 9^3 = 1 + 27 + 2*729 = 28 + 1458 = 1486 > 1399 - ЭТО РЕШЕНИЕ!!!
Если мы возьмем пятизначное число с тремя 9 на конце, то получим сумму не меньше:
9^3 + 9^3 + 9^3 = 3*729 = 2187
Сумма получилась 4-значная, и в пятизначную мы ее никак не превратим.
Значит, число должно быть именно 4-значным.

Ответ: 1399.

[b]y = (x - 4)(x - 1)^2[/b]

Общая схема исследования функции:
1.Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
[b]D(Y) = R[/b]. Точек разрыва нет.

2.Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
[b]Вертикальных асимптот нет.[/b]

3.Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Точки пересечения с осью Ox: [b]x1 = 1, x2 = 4[/b]
Точка пересечения с осью Oy: y(0) = (0 - 4)(0 - 1)^2 = -4*(-1^2) = -4
[b]y = -4[/b]
Интервалы знакопостоянства:
При x < 1 будет y < 0
При x ∈ (1; 4) будет y < 0
При x > 4 будет y > 0

4.Определить, является ли функция чётной или нечётной.
y(-x) = (-x - 4)(-x - 1)^2 = -(x + 4)(x + 1)^2
y(-x) ≠ y(x); y(-x) ≠ -y(x)
[b]Не чётная и не нечётная. Функция общего вида.[/b]

5.Определить, является ли функция периодической.
[b]Не периодическая.[/b]

6.Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
y' = ((x - 4)(x - 1)^2)' = (x - 4)'*(x - 1)^2 + (x - 4)*((x - 1)^2)' =
= 1*(x - 1)^2 + (x - 4)*2(x - 1) = x^2 - 2x + 1 + 2(x^2 - 5x + 4) =
= 3x^2 - 12x + 9 = 0
3(x^2 - 4x + 3) = 0
3(x - 1)(x - 3) = 0
[b]x1 = 1; x2 = 3[/b]
Интервалы возрастания-убывания:
При x < 1 будет y' > 0 - функция возрастает.
При x ∈ (1; 3) будет y' < 0 - функция убывает.
При x > 0 будет y' > 0 - функция возрастает.
x = 1 - точка максимума, x = 3 - точка минимума.

7.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
y'' = (3x^2 - 12x + 9 )' = 6x - 12 6(x - 2) = 0
[b]x = 2[/b]
Интервалы выпуклости-вогнутости:
При x < 2 будет y'' < 0 - функция выпуклая вверх (выпуклая).
При x > 2 будет y'' > 0 - функция выпуклая вниз (вогнутая).

8.Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
f(x) = kx + b, где:
[m]k= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim \limits_{x \to ± \infty} \frac{(x - 4)(x - 1)^2}{x} = \lim \limits_{x \to ± \infty} \frac{x^3 - 4x^2 - 2x^2 + 8x + x - 4}{x} = ± \infty[/m]
[b]Наклонных асимптот нет.[/b]
На бесконечности функция уходит в бесконечность с таким же знаком.

9.Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
y(3) = (3 - 4)(3 - 1)^2 = -1*2^2 = -4
y(2) = (2 - 4)(2 - 1)^2 = -2*1^2 = -2

10.Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График смотрите на рисунке.
Точки экстремумов A(1; 0), B(3; -4) и точка перегиба P(2; -2) отмечены на графике.

У вас, похоже, цифры перепутались.
Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник.
Диагональ прямоугольника не может быть меньше его стороны.
Должно быть так:
Высота осевого сечения цилиндра H = 26 см.
Диагональ сечения D(с) = 42 см.
Найти площадь основания цилиндра.
Решение.
По теореме Пифагора длина прямоугольника:
a = sqrt(D(с)^2 - H^2) = sqrt(42^2 - 26^2) = sqrt(1764 - 676) = sqrt(1088) = sqrt(64*17) = 8sqrt(17)
Так как это осевое сечение цилиндра, то длина прямоугольника - это диаметр цилиндра.
a = D = 8sqrt(17)
R = D/2 = 4sqrt(17) = sqrt(16*17) = sqrt(272)
Площадь основания цилиндра:
S(осн) = π*R^2 = π*272

Ответ: 272π

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
[m]y = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2;\ \ \ y = x - 1[/m]
Смотрите рисунок.
Нужная область выделена салатовым.
Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой.
Для этого приравняем функции.
[m]\frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 = x-1[/m]
[m](x - 4)^2 = 4(x - 1)[/m]
[m]x^2 - 8x + 16 - 4x + 4 = 0[/m]
[m]x^2 - 12x + 20 = 0[/m]
[m]x1 = 2;\ \ \ x2 = 10[/m]
Теперь находим площадь.
Так как прямая выше параболы, то прямую берем с плюсом, а параболу с минусом.
[m]S= \int \limits_2^{10} (x - 1 - \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2) dx = \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{4} \cdot \frac{(x-4)^3}{3} \bigg |_2^{10} = [/m]
[m]= (\frac{10^2}{2} - 10 - \frac{(10-4)^3}{12}) - (\frac{2^2}{2} - 2 - \frac{(2-4)^3}{12}) =[/m]
[m]= 50 - 10 - \frac{6^3}{12} - 2 + 2 + \frac{(-2)^3}{12} = 40 - 18 - \frac{8}{12} = 22 - \frac{2}{3} = 21\frac{1}{3}[/m]
Ответ: [b]S = 21 1/3[/b]

Дано: ABCDS - правильная 4-угольная пирамида.
O - центр основания.
SB = 13 - боковое ребро.
AC = 14 - диагональ основания.
Найти: SO - высоту пирамиды.
Решение.
Смотрите рисунок.
Так как пирамида правильная, то ABCD - квадрат.
Боковые ребра все одинаковы:
SB = SA = SC = SD = 13
Треугольник ASO - прямоугольный.
AO = AC/2 = 7 - половина диагонали.
По теореме Пифагора
SO = sqrt(SA^2 - AO^2) = sqrt(13^2 - 7^2) = sqrt(169 - 49) = sqrt(120) = 2sqrt(30)

Ответ: SO = 2sqrt(30)

Высота конуса равна 48, это дано в условии.
А если нужен радиус конуса, то по теореме Пифагора:
L^2 = H^2 + R^2
R^2 = L^2 - H^2 = 52^2 - 48^2 = 2704 - 2304 = 400 = 20^2
R = 20

1) [m]\int \limits_{-1}^4 (x^2 - 5x) dx = (\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2}) \bigg |_{-1}^4 = (\frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2}) - (\frac{(-1)^3}{3} - \frac{5(-1)^2}{2}) = [/m]
[m]= \frac{64}{3} - \frac{5 \cdot 16}{2} - (-\frac{1}{3}) + \frac{5}{2} = 21 \frac{2}{3} - 40 + 2 \frac{1}{2} = -17 + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = -17 + \frac{7}{6} = -15 \frac{5}{6}[/m]

2) [m]\int \limits_1^3 (4x - x^3) dx = (\frac{4x^2}{2} - \frac{x^4}{4}) \bigg |_1^3 = (2 \cdot 3^2 - \frac{3^4}{4}) - (2 \cdot 1^2 - \frac{1^4}{4}) = [/m]
[m]= 18 - \frac{81}{4} - 2 + \frac{1}{4} = 16 - \frac{80}{4} = 16 - 20 = -4[/m]

3) [m]\int \limits_0^2 (3x^3 + 5x - 8) dx = (\frac{3x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} - 8x) \bigg |_0^2 = (\frac{3 \cdot 2^4}{4} + \frac{5 \cdot 2^2}{2} - 8 \cdot 2) - (\frac{3 \cdot 0^4}{4} + \frac{5 \cdot 0^2}{2} - 0) = [/m]
[m]= \frac{3 \cdot 16}{4} + \frac{5 \cdot 4}{2} - 16 = 12 + 10 - 16 = 6[/m]

4) [m]\int \limits_0^{\pi/4} 2 \sin x dx = -2 \cos x \bigg |_0^{\pi/4} = -2 \cos \frac{\pi}{4} - (-2 \cos 0) =[/m]
[m]= -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot 1 = -\sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}[/m]

Смотрите рисунок. Если рассматривать эту задачу не как объемную, а как плоскую, то она становится элементарной.
Толстой линией показана плоскость а.
Более тонкими - две наклонных, AC и BC.
ABC - прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°.
Его высота CH = 9 см.
Требуется найти гипотенузу AB.
Треугольники ACH и BCH тоже имеют углы 30°, 60°, 90°.
Из них получаем:
AC = CH/sin 30° = 9/(1/2) = 18
BC = CH/sin 60° = 9/(sqrt(3)/2) = 18/sqrt(3) = 6sqrt(3)
По теореме Пифагора:
AB = sqrt(AC^2 + BC^2) = sqrt(18^2 + (6sqrt(3))^2) = sqrt(18*18 + 36*3) = sqrt(36*9+36*3) = sqrt(36*12) = 12sqrt(3) см

Ответ: 12sqrt(3) см

1) [m]\begin{cases}
2x - 3y = 8 \\
3x + y = 1 \\
\end{cases}[/m]
Умножаем 2 уравнение на 3:
[m]\begin{cases}
2x - 3y = 8 \\
9x + 3y = 3 \\
\end{cases}[/m]
Складываем уравнения:
11x = 11
x = 1
Подставляем у любое уравнение:
3*1 + y = 1
y = 1 - 3 = -2
Ответ: x = 1; y = -2

2) 4x^3 - 81x = 0
x(4x^2 - 81) = 0
x(2x - 9)(2x + 9) = 0
x1 = 0; x2 = -9/2 = -4,5; x3 = 9/2 = 4,5
Ответ: -4,5; 0; 4,5

3) x + 2y - 4 = 0; y = -2
Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить y = -2 в уравнение:
x + 2*(-2) - 4 = 0
x - 4 - 4 = 0
x = 8
Ответ: (8; -2)

4) 0,5x + 0,2y = 1,2; 0,3x - 0,1y = 0,5
Чтобы найти точку пересечения, нужно составить систему из уравнений:
[m]\begin{cases}
0,5x + 0,2y = 1,2 \\
0,3x - 0,1y = 0,5 \\
\end{cases}[/m]
Умножаем на 10 оба уравнения:
[m]\begin{cases}
5x + 2y = 12 \\
3x - y = 5 \\
\end{cases}[/m]
Умножаем на 2 второе уравнение:
[m]\begin{cases}
5x + 2y = 12 \\
6x - 2y = 10 \\
\end{cases}[/m]
Складываем уравнения:
11x = 22
x = 2
Подставляем в любое уравнение:
5*2 + 2y = 12
2y = 12 - 10 = 2
y = 1
Ответ: (2; 1)

5) [m]\begin{cases}
12 - 10(2x - 1) = -6(4y - 3) \\
0,4y + 0,6x = 4,6 \\
\end{cases}[/m]
В 1 уравнении раскрываем скобки, 2 уравнение умножаем на 10:
[m]\begin{cases}
12 - 20x + 10 = -24y + 18 \\
4y + 6x = 46 \\
\end{cases}[/m]
В 1 уравнении приводим подобные:
[m]\begin{cases}
24y - 20x = -4 \\
4y + 6x = 46 \\
\end{cases}[/m]
1 уравнение делим на 4, 2 уравнение делим на 2:
[m]\begin{cases}
6y - 5x = -1 \\
2y + 3x = 23 \\
\end{cases}[/m]
2 уравнение умножаем на -3:
[m]\begin{cases}
6y - 5x = -1 \\
-6y - 9x = -69 \\
\end{cases}[/m]
Складываем уравнения:
-14x = -70
x = 5
Подставляем в любое уравнение:
6y - 5*5 = -1
6y = -1 + 25 = 24
y = 4
Ответ: x = 5; y = 4

6) 1) x^2(x - 5) - (x - 2)^3 = x^2 - 4
x^3 - 5x^2 - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - x^2 + 4 = 0
x^3 - 5x^2 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 - x^2 + 4 = 0
-12x + 12 = 0
Ответ: x = 1

2) |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0
|x + y - 5| + (x - 3y)^2 = 0
|x + y - 5| ≥ 0 при любых x и y. (x - 3y)^2 ≥ 0 при любых x и y.
Если сумма этих выражений равна 0, значит, они оба равны 0.
[m]\begin{cases}
x + y - 5 = 0 \\
x - 3y = 0 \\
\end{cases}[/m]
Решаем:
[m]\begin{cases}
x = 3y \\
3y + y = 5 \\
\end{cases}[/m]
4y = 5
y = 5/4 = 1,25
x = 3y = 3*5/4 = 15/4 = 3,75
Ответ: x = 3,75; y = 1,25

3) 7 - x + |x|*x = 7|x|
Здесь возможны два случая.
а) x < 0, |x| = -x
7 - x - x*x = -7x
-x^2 - x + 7x + 7 = 0
x^2 - 6x - 7 = 0
(x - 7)(x + 1) = 0
x = -1 < 0 - подходит
x = 7 > 0 - не подходит.
б) x ≥ 0, |x| = x
7 - x + x*x = 7x
x^2 - x - 7x + 7 = 0
x^2 - 8x + 7 = 0
(x - 1)(x - 7) = 0
x1 = 1 > 0
x2 = 7 > 0
Подходят оба корня.
Ответ: -1; 1; 7

1) Смотрите Рис. 1
Дано: AC = BC, MK = MN, MK ⊥ AB, MN ⊥ BC, ∠ ABM = 35 °
Найти: ∠ ACB = a
Решение.
Δ MKB = Δ MNB по двум сторонам и одному прямому углу.
Значит, ∠ CBM = ∠ ABM = 35 ° , тогда ∠ ABC = 70 ° = ∠ BAC
∠ ACB = a = 180 ° - ∠ ABC - ∠ BAC = 180 ° - 70 ° - 70 ° = 40 °
Ответ: 40 °

2) Смотрите Рис. 2.
Дано: PH ⊥ NK, KH = HN, NP = 12 см, MP = 9 см
Найти: MK = x
Решение.
Отрезок PH - серединный перпендикуляр к отрезку NK.
То есть PH - медиана и высота треугольника NPK.
Это значит, что NPK - равнобедренный треугольник,
NP = PK = 12 см
MK = x = MP + PK = 9 + 12 = 21 см
Ответ: 21 см

3) Смотрите Рис. 3.
Дано: AM ⊥ DE, AB = BM, AN ⊥ DC, AF = FN, ∠ MDE = 26 °, ∠ NDC = 46 °
Найти: ∠ CDE = a
Решение.
Проведём дополнительный отрезок DA, он показан красным.
DB - серединный перпендикуляр к отрезку AM.
DF - серединный перпендикуляр к отрезку AN.
Поэтому Δ ADM и Δ ADN - равнобедренные, так же как в задаче 2).
∠ ADE = ∠ MDE = 26 °, ∠ ADC = ∠ NDC = 46 °
∠ CDE = a = ∠ ADE + ∠ ADC = 26 ° + 46 ° = 72 °
Ответ: 72 °

4) Рисунок уже есть в задаче, я не буду его перерисовывать.
Дано: ∠ B = 56 °, ∠ C = 74 °
Найти: ∠ MNB
Решение.
Рассмотрим треугольник BMC.
∠ BMC = 180 ° - ∠ B - ∠ C = 180 ° - 56 ° - 74 ° = 50 °
MK и ML - две касательных к окружности из одной точки M. Они равны.
MK = ML
∠ BMN = ∠ CMN = ∠ BMC/2 = 50 °/2 = 25 °
Рассмотрим треугольник MNB.
∠ MNB = 180 ° - ∠ B - ∠ BMN = 180 ° - 56 ° - 25 ° = 99 °
Ответ: 99 °

5) Смотрите Рис. 4.
Дано: Окружность с центром O. Точка K ∈ Окр., точка M вне Окр.
∠ KMO + ∠ MOK = 90 °
Доказать: KM - касательная к Окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник KMO.
∠ OKM = 180 ° - ∠ KMO - ∠ MOK = 180 ° - (∠ KMO + ∠ MOK) = 180 ° - 90 ° = 90 °
То есть KM ⊥ OK.
Если секущая перпендикулярна радиусу и точка пересечения находится точно на окружности, то это не секущая, а касательная.
Таким образом, доказано, что KM - касательная к окружности.

6) Смотрите Рис. 5.
Дано: AK, BK - биссектрисы треугольника ABC.
MN || AC, K ∈ MN. AN = 6 см, MC = 5 см.
Найти: MN
Но как решить, пока не знаю, надо думать.

Смотрите рисунок.
AOB = a, это угол, который надо найти.
Мы знаем что OC = CD = R/2.
Угол BOC = a/2
cos a/2 = OC/OB = (R/2) : R = 1/2
a/2 = 60°
a = 120°

Ответ: AOB = 120°

Я не могу решить эту задачу, она правда очень трудная.
Но я хотя бы смог нарисовать чертеж.
Плоскость сечения показана красным, прямая A1C - зеленым.
Думаю, что плоскость PEF делит отрезок A1C примерно пополам, но доказать не могу.

[m](2,01)^{3,03}[/m]
У нас фактически здесь функция двух переменных.
[m]z(x; y) = x^{y}[/m]
И нам надо вычислить значение этой функции в точке M(2,01; 3,03).
Очевидно, мы можем взять близкую точку M0(x0; y0) при x0 = 2, y0 = 3.
[m]z(M0) = x0^{y0} = 2^3 = 8[/m]
Тогда z(M) = z(x0+Δx; y0+Δy), Δx = 0,01; Δy = 0,03.
Для приближенного вычисления функции в точке применяется формула:
[m]z(M) = z(x0+Δx; y0+Δy) ≈ z(x0; y0) + d[z(x0; y0)][/m]
Где d[z(x0; y0)] - это полный дифференциал функции в точке M0:
[m]d[z(x0; y0)] = z'{x}(x0; y0) \cdot Δx + z'{y}(x0; y0) \cdot Δy[/m]
Находим частные производные:
[m]z'{x} = y \cdot x^{y-1}[/m]; [m]z'{x}(M0) = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 2^2 = 12[/m]
[m]z'{y} = x^{y} \cdot \ln x[/m]; [m]z'{x}(M0) = 2^{3} \cdot \ln 2 = 8 \ln 2 ≈ 5,5452[/m]
Полный дифференциал:
[m]d[z(x0; y0)] = z'{x}(x0; y0) \cdot Δx + z'{y}(x0; y0) \cdot Δy [/m]
[m]d[z(x0; y0)] = 12 \cdot 0,01 + 5,5452 \cdot 0,03 ≈ 0,286356[/m]
Приближенное значение:
[m]z(x0+Δx; y0+Δy) = z(x0; y0) + d[z(x0; y0)][/m]
[m]z(2,01; 3,03) ≈ 8 + 0,286356 = 8,286356[/m]

F = A ∨ B ∧ (C → B)
Здесь у нас 3 функции. По приоритету:
1) Импликация D = C → B, она в скобках. Ее таблица истинности:
C | B | C → B
0 | 0 | 1
0 | 1 | 1
1 | 0 | 0
1 | 1 | 1
2) Логическое И, она же конъюнкция. E = B ∧ D. Ее таблица истинности:
B | D | B ∧ D
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 1
3) Логическое ИЛИ, она же дизъюнкция. A ∨ E. Ее таблица истинности:
A | E | A ∨ E
0 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 1
Таблица истинности всего выражения.
Не обращайте внимание на горизонтальные подчеркивания,
они нужны для выравнивания по вертикали:
A | B | C | C → B | B ∧ (C → B) | A ∨ B ∧ (C → B)
0 | 0 | 0 | _ 1 _ | ___ 0 ___ | __ 0
0 | 0 | 1 | _ 1 _ | ___ 0 ___ | __ 0
0 | 1 | 0 | _ 0 _ | ___ 0 ___ | __ 0
0 | 1 | 1 | _ 1 _ | ___ 1 ___ | __ 1
1 | 0 | 0 | _ 1 _ | ___ 0 ___ | __ 1
1 | 0 | 1 | _ 1 _ | ___ 0 ___ | __ 1
1 | 1 | 0 | _ 0 _ | ___ 0 ___ | __ 1
1 | 1 | 1 | _ 1 _ | ___ 1 ___ | __ 1

Если окружность описана вокруг равностороннего треугольника,
у которого сторона равна a см, то радиус этой окружности:
R = a*sqrt(3) см
По условию R = 10sqrt(3) см, значит, сторона треугольника
a = R/sqrt(3) = 10sqrt(3)/sqrt(3) = 10 см.
а) Площадь треугольника:
S = a^2*sqrt(3)/4 = 10^2*sqrt(3)/4 = 100*sqrt(3)/4 = 25*sqrt(3) кв.см.
б) Радиус окружности, вписанной в треугольник, в 2 раза меньше,
чем радиус описанной окружности:
r = R/2 = 10sqrt(3)/2 = 5sqrt(3) см
в) Смотрите рисунок. Большая дуга - это дуга ACB.
Меньшая дуга AB равна 360°/3 = 120°
Большая дуга ACB равна 360° - 120° = 240°

Дано: ∠HKP = 45°, KH = NK, S(тр) = 54 кв.см.
Найти: MP

Смотрите рисунок.
Треугольник KHP - прямоугольный и равнобедренный.
KH = NK = HP
Проведем высоту NL, она показана красным цветом.
Так как трапеция - равнобедренная, то очевидно, что
ML = NL = LH = NK = KH = HP
MP = 3*NK
Известно, что площадь трапеции:
[m]S(тр) = \frac{NK + MP}{2} \cdot KH = 54[/m]
[m]\frac{NK + 3 \cdot NK}{2} \cdot NK = 54[/m]
[m]2 \cdot NK \cdot NK = 54[/m]
[m]NK^2 = 27[/m]
[m]NK = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}[/m]
[m]MP = 3 \cdot NK = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}[/m]

Дано: MN = 18 см, AC = 48 см
Найти: S(ABCD)
Решение.
Смотрите рисунок.
То, что диагонали AC ⊥ BD, означает, что ABCD - ромб.
AB = BC = CD = AD
Рассмотрим треугольник BCD.
Отрезок MN - средняя линия, значит:
BD = 2*MN = 2*18 = 36 см
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
S(ABCD) = AC*BD/2 = 48*36/2 = 48*18 = 864 кв.см.

Дано: AB = BC = 15 см, AE = 17 см.
Найти: S(DCE)
Решение.
Смотрите рисунок.
По теореме Пифагора:
BE = sqrt(AE^2 - AB^2) = sqrt(289 - 225) = sqrt(64) = 8 см
CE = BC - BE = 15 - 8 = 7 см
[m]S(DCE) = \frac{DC \cdot CE}{2} = \frac{15 \cdot 7}{2} = \frac{105}{2} = 52,5[/m] кв.см.