udachnik

25) y'' - 4y' + 4y = e^(2x), y(0) = 2, y'(0) = 8
Линейное неоднородное диф. уравнение с постоянными коэффициентами.
Задача Коши.
1) Решаем однородное уравнение:
y'' - 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 4 = 0
(k - 2)^2 = 0
k1 = k2 = 2
Корни равны, поэтому общее решение однородного уравнения:
y(одн) = (C1*x + C2)*e^(2x)

2) Находим частное решение неоднородного уравнения.
Так как в правой части стоит e^(2x), и k = 2 - корень характеристического уравнения, да ещё и кратный, то решение неоднородного уравнения:
y(неод) = A*x^2*e^(2x)
y'(неод) = A*(2x*e^(2x) + x^2*2e^(2x)) = 2A*e^(2x)*(x^2 + x)
y''(неод) = 2A*[2e^(2x)*(x^2 + x) + e^(2x)*(2x + 1)] =
= 2A*e^(2x)*(2x^2 + 2x + 2x + 1) = 2A*e^(2x)*(2x^2 + 4x + 1)
Подставляем в уравнение:
2A*e^(2x)*(2x^2 + 4x + 1) - 4*2A*e^(2x)*(x^2 + x) + 4A*x^2*e^(2x) = e^(2x)
Делим на e^(2x) слева и справа:
2A*(2x^2 + 4x + 1) - 8A*(x^2 + x) + 4A*x^2 = 1
Раскрываем скобки:
4A*x^2 + 8A*x + 2A - 8A*x^2 - 8A*x + 4A*x^2 = 1
Приводим подобные:
2A = 1
A = 0,5
y(неод) = 0,5x^2*e^(2x)

3) Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(одн) + y(неод)
y(x) = (C1*x + C2)*e^(2x) + 0,5x^2*e^(2x)
y(x) = (0,5x^2 + C1*x + C2)*e^(2x)
y'(x) = (x + C1)*e^(2x) + (0,5x^2 + C1*x + C2)*2e^(2x)
y'(x) = (x^2 + (2*C1 + 1)*x + (C1 + 2*C2))*e^(2x)

4) Решаем задачу Коши.
y(0) = (0,5*0 + C1*0 + C2)*e^0 = 2
y'(0) = (0 + (2*C1 + 1)*0 + (C1 + 2*C2))*e^0 = 8
Получаем систему:
{ C2*1 = 2
{ (C1 + 2*C2)*1 = 8
Решаем:
{ C2 = 2
{ C1 + 2*2 = 8
Получаем:
{ C1 = 4
{ C2 = 2
Частное решение задачи Коши:
y(x) = (0,5x^2 + 4x + 2)*e^(2x)

26) y'' + 2y' + y = x + sin x
Линейное неоднородное диф. уравнение с постоянными коэффициентами.
1) Решаем однородное уравнение:
y'' + 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)^2 = 0
k1 = k2 = -1
Корни равны, поэтому общее решение однородного уравнения:
y(одн) = (C1*x + C2)*e^(-x)

2) Частное решение неоднородного уравнения.
Так как правая часть представляет собой сумму двух функций, находим каждое частное решение отдельно:
a) y'' + 2y' + y = x
Так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то решение:
y1(неод) = Ax + B
y1'(неод) = A
y''(неод) = 0
Подставляем в уравнение:
0 + 2A + A*x + B = x
A*x + (2A + B) = x
Составляем систему по степеням x:
{ A = 1
{ 2A + B = 0
Решаем:
{ A = 1
{ 2 + B = 0
Получаем:
{ A = 1
{ B = -2
Первое частное решение:
y1(неод) = x - 2

b) y'' + 2y' + y = sin x
y2(неод) = A*cos x + B*sin x
y2'(неод) = -A*sin x + B*cos x
y2''(неод) = -A*cos x - B*sin x
Подставляем в уравнение:
-A*cos x - B*sin x + 2*(-A*sin x + B*cos x) + A*cos x + B*sin x = sin x
-A*cos x - B*sin x - 2A*sin x + 2B*cos x + A*cos x + B*sin x = sin x
• 2A*sin x + 2B*cos x = sin x
Составляем систему по синусам и косинусам:
{ -2A = 1
{ 2B = 0
Получаем:
{ A = -0,5
{ B = 0
Второе частное решение:
y2(неод) = -0,5*cos x

Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(одн) + y1(неод) + y2(неод)
y(x) = (C1*x + C2)*e^(-x) + x - 2 - 0,5*cos x

20) а) y(x) = (C1*x + C2)*e^(-2x) + e^(x)*(A*cos(x/2) + B*sin(x/2))
б) y(x) = (C1*x + C2)*e^(-2x) + x^2*(A1*x + A2)*e^(-2x)
в) y(x) = (C1*x + C2)*e^(-2x) + A1*cos 5x + A2*sin 5x + x^2*(B1*x + B2)*e^(-2x)

21) а) y(x) = e^(-2x)*(C1*cos 3x + C2*sin 3x) + A1*x^2 + A2*x + A3
б) y(x) = e^(-2x)*(C1*cos 3x + C2*sin 3x) + (A1*x + A2)*cos 2x + (B1*x + B2)*sin 2x
в) y(x) = e^(-2x)*(C1*cos 3x + C2*sin 3x) + x*e^(-2x)*(A1*cos 3x + A2*sin 3x) =
= e^(-2x)*((A1*x + C1)*cos 3x + (A2*x + C2)*sin 3x)
г) y(x) = e^(-2x)*(C1*cos 3x + C2*sin 3x) + A*e^(3x) + x*(B1*x + B2)*e^(-2x)*(D1*cos 3x + D2*sin 3x) =
= A*e^(3x) + e^(-2x)*[(B1*D1*x^2 + B2*D1*x + C1)*cos 3x + (B1*D2*x^2 + B2*D2*x + C2)*sin 3x]

У вас ошибка в пункте про четность функции.
f(x) = x^4 - 4x^3
f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^3 = x^4 + 4x^3
f(-x) ≠ -f(x); f(-x) ≠ f(x)
Функция не четная и не нечетная. Функция общего вида.

Теперь точки (0; 0) и (4; 0)
f(0) = 0^4 - 4*0^3 = 0 - 0 = 0. Точка (0; 0) принадлежит графику.
f(4) = 4^4 - 4*4^3 = 4^4 - 4^4 = 0. Точка (4; 0) принадлежит графику.

Экстремумы.
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2*(x - 3) = 0
x1 = 0, x2 = 3
f(0) = 0; f(3) = 3^4 - 4*3^3 = 81 - 4*27 = 81 - 108 = -27
При x < 0, например, при x = -1 будет:
f'(x) = 4(-1)^2*(-1 - 3) = 4*1(-4) = -16 < 0 - функция убывает.
При x ∈ (0; 3), например, при x = 1 будет:
f'(x) = 4*1^2*(1 - 3) = 4*1(-2) = -8 < 0 - функция убывает.
Значит, точка (0; 0) НЕ является экстремумом!
При x > 3, например, при x = 4 будет:
f'(x) = 4*4^2*(4 - 3) = 4^3*1 = 4^3 = 64 > 0 - функция возрастает.
Значит, точка (3; -27) - точка минимума.

Точки перегиба.
f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x*(x - 2) = 0
x1 = 0, x2 = 2
f(0) = 0; f(2) = 2^4 - 4*2^3 = 16 - 4*8 = 16 - 32 = -16
При x < 0, например, при x = -1 будет:
f''(-1) = 12(-1)*(-1 - 2) = -12*(-3) = 36 > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
При x ∈ (0; 2), например, при x = 1 будет:
f''(1) = 12*1*(1 - 2) = 12(-1) = -12 < 0 - график выпуклый вверх (выпуклый).
При x > 2, например, при x = 3 будет:
f''(3) = 12*3*(3 - 2) = 12*3*1 = 36 > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
Точки перегиба: (0; 0) и (2; -16)

1) Смотрите Рис. 1.
tg AOB = AB/AO
AB = AO*tg AOB = 9*tg 30° = 9*sqrt(3)/3 = 3*sqrt(3) см

2) Смотрите Рис. 2.
Проводим дополнительный радиус OR = AO = AR = r.
Треугольник AOR - равносторонний, поэтому угол RAO = 60°.
Угол OAS = 90°, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Угол RAS = RAO + OAS = 60° + 90° = 150°
Угол TAS = x = 180° - RAS = 180° - 150° = 30°

3) Смотрите Рис. 3.
Две касательных, проведенные из одной точки, равны друг другу.
Поэтому CA = CB, LK = LA, MK = MB.
Периметр треугольника MLC:
P(MLC) = CM + CL + LK + MK = 56 см
CA+CB = CL+LA+CM+MB = CM+CL+LA+MB = CM+CL+LK+MK = 56 см
CA = CB = (CA + CB)/2 = 56/2 = 28 см

9.y'' = sin 3x
Решается простым интегрированием два раза.
[m]y' = \frac{1}{3} \cdot (-\cos 3x) + C1 = -\frac{1}{3} \cdot \cos 3x + C1[/m]
[m]y = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sin 3x + C1 \cdot x + C2 = -\frac{1}{9} \cdot \sin 3x + C1 \cdot x + C2[/m]

10.[m]y'' - \frac{y'}{x} = x[/m]
Решается понижением порядка. Замена y' = z, тогда y'' = z'
[m]z' - \frac{z}{x} = x[/m]
[m]z' = \frac{z}{x} + x[/m]
[m]x \cdot z' = z + x^2[/m]
Общее решение этого уравнения:
z = x^2 + C1*x
При этом получается:
z' = 2x + C1
Подставляем в начальное уравнение:
[m]z' - \frac{z}{x} = x[/m]
[m]2x + C1 - \frac{x^2 + C1 \cdot x}{x} = 2x + C1 - x - C1 = x[/m]
Все правильно.
Обратная замена:
z = y'
y' = x^2 + C1*x
Решается интегрированием.
[m]y = \frac{x^3}{3} + \frac{C1 \cdot x^2}{2} + C2[/m]

12.Это трудная, не знаю, как решать.

z=2x^3 – xy^2 + 5x^2 + y^2

1) Необходимое условие экстремума.
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 6x^2 - y^2 + 10x = 0
{ dz/dy = -2xy + 2y = 0
Преобразуем уравнения:
{ 6x^2 + 10x - y^2 = 0
{ 2y*(1 - x) = 0
Из 2 уравнения следует два корня:
а) y = 0, подставляем в 1 уравнение:
6x^2 + 10x = 0
2x(3x + 5) = 0
x1 = 0, [b]A1(0; 0)[/b]
x2 = -5/3; [b]A2 = (-5/3; 0)[/b]

б) x = 1, подставляем в 1 уравнение:
6 + 10 - y^2 = 0
y^2 = 16
y1 = -4; [b]B1(1; -4)[/b]
y2 = 4; [b]B2(1; 4)[/b]

2) Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 12x + 10
B = d^2z/(dxdy) = -2y
C = d^2z/dy^2 = -2x + 2
D = AC - B^2 = (12x + 10)(-2x + 2) - (-2y)^2 = (12x + 10)(2 - 2x) - 4y^2
а) A(A1) = A(0; 0) = 0 + 10 = 10 > 0
D(A1) = D(0; 0) = (12*0 + 10)(2 - 2*0) - 4*0^2 = 10*2 - 0 = 20 > 0
D > 0 и A > 0 : A1(0; 0) - точка минимума.

б) A(A2) = 12*(-5/3) + 10 = -4*5 + 10 = -10 < 0
D(A2) = (12*(-5/3) + 10)(2 - 2(-5/3)) - 4*0^2 = -10(2 + 10/3) = -20 - 100/3 < 0
D < 0 : В A2(-5/3; 0) экстремума нет.

в) A(B1) = 12*1 + 10 = 22 > 0
D(B1) = (12*1 + 10)(2 - 2*1) - 4*(-4)^2 = 22*0 - 4*4^2 = -4^3 < 0
D < 0 : В B1(1; -4) экстремума нет.

г) A(B2) = 12*1 + 10 = 22 > 0
D(B2) = (12*1 + 10)(2 - 2*1) - 4*4^2 = 22*0 - 4*4^2 = -4^3 < 0
D < 0 : В B2(1; 4) экстремума нет.

Ответ: A1(0; 0) - точка минимума.

Вот решение. Кажется, получился волк.
Хотя это может быть и медведь, и лось, и даже кабан.

На рисунке нужная площадь показана салатовым цветом.
Площадь равна интегралу
[m]\int \limits_{-1}^1 (2 - x^3) dx = (2x - \frac{x^4}{4}) |_{-1}^1 = (2 \cdot 1 - \frac{1^4}{4}) - (2 \cdot (-1) - \frac{(-1)^4}{4}) = [/m]
[m]= 2 - \frac{1}{4} - (-2) + \frac{1}{4} = 4[/m]

Ответ: 4

[m]2z^3 = a^2[/m]
[m]z^3 = \frac{a^2}{2}[/m]
Сначала найдем модуль и аргумент правой части.
Представим правую часть в алгебраическом виде:
[m]\frac{a^2}{2} = x + i \cdot y[/m]
Тогда:
[m]\mod \frac{a^2}{2} = |\frac{a^2}{2}| = \sqrt{x^2 + y^2}[/m]
[m]\ \ \arg \frac{a^2}{2} = \phi = arctg\ \frac{y}{x}[/m]
Для комплексных чисел кубический корень имеет 3 значения:
[m]z = \sqrt[3]{|\frac{a^2}{2}|} ( \cos \frac{\phi + 2\pi k}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2\pi k}{3})[/m] При k = 0, 1, 2.
Иначе говоря, можно написать 3 корня:
[m]z1 = \sqrt[3]{|\frac{a^2}{2}|} ( \cos \frac{\phi}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi}{3})[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{|\frac{a^2}{2}|} ( \cos \frac{\phi + 2\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2\pi}{3})[/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{|\frac{a^2}{2}|} ( \cos \frac{\phi + 4\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 4\pi}{3})[/m]
Осталось подставить ваше значение а и найти все эти выражения.

2cos^2 x - 5cos x + 2 = 0
1) Решаем уравнение
Замена cos x = t, t ∈ [-1; 1]
2t^2 - 5t + 2 = 0
(t - 2)(2t - 1) = 0
t = 2 > 1 - не подходит
t = 1/2 ∈ [-1; 1] - подходит
cos x = 1/2
x = ± π/3 + 2π*k, k ∈ Z

2) Находим корни на промежутке [-7π/2; -2π]
Запишем промежуток в виде дробей со знаменателем 6: [-21π/6; -12π/6]
x = -π/3 - 2π = -π/3 - 6π/3 = -7π/3 = -14π/6 ∈ [-21π/6; -12π/6]

Ответ: 1) x = ± π/3 + 2π*k, k ∈ Z
2) x = -7π/3

4 трудная, рисовать надо, мне с телефона это невозможно.
5 намного проще.
Есть равносторонний треугольник со стороной а = 6, значит, высота, она же медиана и биссектриса: m = a*sqrt(3)/2 = 6*sqrt(3)/2 = 3*sqrt(3)
Точка О - центр треугольника, находится на расстоянии 2/3 длины медианы от угла.
AO = 2/3*m = 2/3*3*sqrt(3) = 2*sqrt(3)
Треугольник AOS - прямоугольный, катет AO = 2*sqrt(3), гипотенуза AS = 4*sqrt(3)
Расстояние от точки S до плоскости ABC - это катет SO.
SO = sqrt(AS^2 - AO^2) = sqrt(16*3 - 4*3) = sqrt(48 - 12) = sqrt(36) = 6

Ответ: 6

6 трудная рисовать надо, а мне в телефоне это сделать невозможно.

7 проще.
Если AB = 7, BC = 3, BC1 = 3√5, то высота CC1 по теореме Пифагора:
CC1^2 = (3√5)^2 - 3^2 = 9*5 - 9 = 45 - 9 = 36
CC1 = √36 = 6
Площадь поверхности пар-педа:
S = 2(ab + ac + bc) = 2(7*3 + 3*6 + 7*6) =
= 2(21 + 18 + 42) = 2*81 = 162

Смотрите рисунок.
Красными стрелками я построил параллелограмм сил и результирующую силу F.
Как видим, она направлена строго вправо и равна 0,3 Н.
Напишем определение силы в 1 Ньютон.
1 Ньютон - это сила, которая придает телу массой 1 кг ускорение 1 м/c^2.
По второму закону Ньютона сила:
F = m*a, значит ускорение:
a = F/m
У нас брусок массой m = 100 г = 0,1 кг и на него действует сила F = 0,3 Н.
Поэтому он будет двигаться из состояния покоя с ускорением
a = F/m = 0,3/0,1 = 3 м/с^2
Теперь проверяем утверждения:
1) Брусок будет двигаться равноускоренно вправо - ДА!
2) Траектория будет криволинейной - нет, траектория прямолинейная.
3) Ускорение будет 6 м/с^2 - нет, только 3 м/с^2.
4) Через 1 секунду скорость бруска будет 3 м/с - ДА!

Ответ: правильные утверждения - 1 и 4.

[m]l1= \begin{cases}
x = 2t \\
y = -2 \\
z = -6 + 4t \\
\end{cases};\ l2= \begin{cases}
x = 1-t \\
y = 3 \\
z = -4 - 2t \\
\end{cases};\ l3= \begin{cases}
x = -1 - 3t \\
y = -2 \\
z = -3 - t \\
\end{cases};\ l4= \begin{cases}
x = 2 - t \\
y = 3 \\
z = -2 - 2t \\
\end{cases}[/m]
Прямые заданы в параметрической форме. Выразим t во всех уравнениях:
[m]l1 = \begin{cases}
t = \frac{x}{2} \\
0t = y + 2 \\
t = \frac{z+6}{4} \\
\end{cases};\ l2= \begin{cases}
t = \frac{-x+1}{1} \\
0t = y - 3 \\
t = \frac{z+4}{-2} \\
\end{cases};\ l3= \begin{cases}
t = \frac{x+1}{-3} \\
0t = y + 2 \\
t = \frac{z+3}{-1} \\
\end{cases};\ l4= \begin{cases}
t = \frac{-x + 2}{1} \\
0t = y - 3 \\
t = \frac{z+2}{-2} \\
\end{cases}[/m]
Переводим параметрическую запись в каноническую:
[m]l1: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+6}{4};\ l2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2}[/m]
[m]l3: \frac{x+1}{-3} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+3}{-1};\ l4: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+2}{-2}[/m]

Прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.
1) Если прямые параллельны, то выполняется условие:
[m]\frac{m1}{m2} = \frac{n1}{n2} = \frac{p1}{p2}[/m]
Где m, n, p - координаты направляющего вектора прямой, то есть знаменатели дробей в канонической записи уравнения прямой.
Но делить 0 на 0 в ординатах (y) смысла нет, мы его пропустим.
Сравниваем l1 и l3:
[m]\frac{2}{-3} = \frac{4}{-1}[/m] - это неверно, значит, они не параллельны.
Сравниваем l2 и l4:
[m]\frac{-1}{-1} = \frac{-2}{-2}[/m] - это верно, значит, они параллельны.

2) Если прямые пересекаются, то выполняется условие:
[m]\begin{pmatrix}
x1 - x2 & y1 - y2 & z1 - z2 \\
m1 & n1 & p1 \\
m2 & n2 & p2 \\
\end{pmatrix} = 0[/m]
Где A(x1; y1; z1) - точка на прямой 1, B(x2; y2; z2) - точка на прямой 2.
Проверяем прямые l1 и l3.
[m]\begin{pmatrix}
0 - (-1) & -2 - (-2) & -6 - (-3) \\
2 & 0 & 4 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 \\
2 & 0 & 4 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = 0[/m]
Если в определителе есть строка из 0, то он сразу равен 0.
Значит, прямые l1 и l3 пересекаются.

3) Проверим пару l1 и l2.
[m]l1: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+6}{4};\ l2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{2}{-1} = \frac{4}{-2}[/m] - это верно, значит, они параллельны.

Проверяем пару l1 и l4.
[m]l1: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+6}{4};\ l4: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+2}{-2}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{2}{-1} = \frac{4}{-2}[/m] - это верно, значит, они параллельны.

Проверяем пару l2 и l3.
[m]l2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2};\ l3: \frac{x+1}{-3} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+3}{-1}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{-1}{-3} = \frac{-2}{-1}[/m] - это неверно, они не параллельны.
На пересечение:
[m]\begin{pmatrix}
1 - (-1) & 3 - (-2) & -4 - (-3) \\
-1 & 0 & -2 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 5 & -1 \\
-1 & 0 & -2 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = [/m]
= 2*0*(-1) + (-1)*(-1)*0 + 5*(-2)*(-3) - (-1)*0*(-3) - 2*(-2)*0 - 5*(-1)*(-1) =
= 0 + 0 + 30 - 0 - 0 - 5 = 25
Эти прямые не пересекаются, значит, они скрещиваются.

Проверяем пару l3 и l4.
[m]l3: \frac{x+1}{-3} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+3}{-1};\ l4: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+2}{-2}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{-3}{-1} = \frac{-1}{-2}[/m] - это неверно, они не параллельны.
На пересечение:
[m]\begin{pmatrix}
-1 - 2 & -2 - 3 & -3 - (-2) \\
-3 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3 & -5 & -1 \\
-3 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix} = [/m]
= (-3)*0*(-2) + (-1)*(-3)*0 + (-5)*(-1)*(-1) - (-1)*0*(-1) - (-3)*(-1)*0 - (-5)*(-3)*(-2) =
= 0 + 0 - 5 - 0 - 0 + 30 = 25
Эти прямые не пересекаются, значит, они скрещиваются.

Ответ: Скрещиваются пары прямых: (l2; l3); (l3; l4)
Остальные прямые: l1 || l2 || l4, прямые l1 и l3 пересекаются.

[m]\int \limits_0^{\pi} \ln (1+2a \cos x + a^2)dx[/m]
Такой интеграл решается только по частям.
[m]u = \ln (1+2a \cos x + a^2);\ \ dv = dx[/m]
[m]du = \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} dx \cdot (-2a \sin x);\ \ v = x[/m]
[m]\int \limits_0^{\pi} \ln (1+2a \cos x + a^2)dx = x \cdot \ln (1+2a \cos x + a^2) |_0^{\pi} - \int \limits_0^{\pi} \frac{-2a \sin x \cdot x}{1+2a \cos x + a^2} dx =[/m]
[m]= \pi \cdot \ln (1+2a \cos \pi + a^2) - 0 + 2a \int \limits_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+2a \cos x + a^2} dx[/m]
1 часть найти легко:
[m]\pi \cdot \ln (1+2a \cos \pi + a^2) = \pi \cdot \ln (1-2a + a^2) = \pi \cdot \ln (1 - a)^2 = 2\pi \cdot \ln |1 - a|[/m]
При a = 1 это выражение не существует.
С интегралом сложнее.
[m]2a \int \limits_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+2a \cos x + a^2} dx = [/m]
Я не знаю, как его решать на самом деле, Вольфрам Альфа показал, что нужно разложить функцию в ряд Маклорена. Результат будет такой:
[m]2a \cdot (\frac{1}{3(1+a)^2} \cdot x^3 - \frac{a^2-4a+1}{30(1+a)^4} \cdot x^5 + \frac{a^4-26a^3+66a^2-26a+1}{840(1+a)^6} \cdot x^7 + o(x^8)) |_0^{\pi}[/m]
Здесь o(x^8) - это бесконечно малая величина, зависящая от x^8, её можно не учитывать.
При а = -1 это выражение не существует.
При подстановке 0 получается 0, его тоже можно не учитывать. Всё вместе получается:
[m]2\pi \cdot \ln |1 - a| + 2a \cdot (\frac{1}{3(1+a)^2} \cdot \pi^3 - \frac{a^2-4a+1}{30(1+a)^4} \cdot \pi^5 + \frac{a^4-26a^3+66a^2-26a+1}{840(1+a)^6} \cdot \pi^7)[/m]

Объем тела вращения вокруг оси Ox можно найти по интересной формуле:
[m]V = \pi \cdot \int \limits_{a}^{b} [f(x)]^2 dx[/m]
У нас f(x) = e^(x), a = 0, b = 1
[m]V = \pi \cdot \int \limits_{0}^{1} [e^{x}]^2 dx = \pi \cdot \int \limits_{0}^{1} e^{2x} dx = \frac{\pi}{2} \cdot e^{2x} |_{0}^{1} =[/m]
[m]= \frac{\pi}{2} \cdot (e^2 - e^0) = \frac{\pi}{2} \cdot (e^2 - 1)[/m]
Ответ: [m]V = \frac{\pi}{2} \cdot (e^2 - 1) ≈ 10,036[/m]

Чертеж показан на рисунке. Область выделена салатовым цветом.
Точки пересечения линий:
{ y = 1/x
{ y = x
1/x = x
x1 = -1 (не подходит)
x2 = 1, y = 1

{ y = 1/x
{ x = 2
x = 2, y = 1/2

{ y = x
{ x = 2
x = 2, y = 2

[m]S = \int \limits_1^2 (x - \frac{1}{x}) dx = (\frac{x^2}{2} - \ln |x|) \bigg |_1^2 =[/m]
[m]= (\frac{2^2}{2} - \ln |2|) - (\frac{1^2}{2} - \ln |1|) = 2 - \ln 2 - \frac{1}{2} + 0 = \frac{3}{2} - \ln 2[/m]

Ответ: [m]S = \frac{3}{2} - \ln 2 ≈ 0,807[/m]

1) [m]\int \limits_1^4 \frac{x^3 + 2x - 3}{\sqrt{x}} dx = \int \limits_1^4 (x^{2,5} + 2x^{0,5} - 3x^{-0,5}) dx = (\frac{x^{3,5}}{3,5} + \frac{2x^{1,5}}{1,5} - 3\frac{x^{0,5}}{0,5}) \bigg |1^4 =[/m]
[m]= (\frac{2x^{3,5}}{7} + \frac{4x^{1,5}}{3} - 6x^{0,5}) \bigg |_1^4 =(\frac{2 \cdot 4^{3,5}}{7} + \frac{4 \cdot 4^{1,5}}{3} - 6 \cdot 4^{0,5}) - (\frac{2 \cdot 1^{3,5}}{7} + \frac{4 \cdot 1^{1,5}}{3} - 6 \cdot 1^{0,5}) =[/m]
[m]= \frac{2 \cdot 2^7}{7} + \frac{4 \cdot 2^3}{3} - 6 \cdot 2 - \frac{2}{7} - \frac{4}{3} + 6 =\frac{256}{7} + \frac{32}{3} - 12 - \frac{2}{7} - \frac{4}{3} + 6 = \frac{254}{7} + \frac{28}{3} - 6 =[/m]
[m]= 36 + \frac{2}{7} + 9 + \frac{1}{3} - 6 = 39 + \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = 39 \frac{13}{21}[/m]

2) [m]\int \limits_0^{0,5} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^3}} [/m]
Замена 1 - x^3 = t, dt = -3x^2 dx, тогда x^2 dx = -1/3 dt
Пределы интегрирования: t(0) = 1 - 0^3 = 1; t(0,5) = 1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8
[m]\int \limits_0^{0,5} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^3}} = -\frac{1}{3} \int \limits_1^{7/8} \frac{dt}{\sqrt{t}}=[/m]
Пределы интегрирования непривычно поставлены: большой внизу, а маленький вверху.
Если поменять местами пределы, то поменяется знак перед интегралом.
[m]= \frac{1}{3} \int \limits{7/8}^1 t^{-0,5} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{0,5}}{0,5} \bigg |{7/8}^1 = \frac{2}{3} \cdot t^{0,5} \bigg |{7/8}^1 = \frac{2}{3} (\sqrt{1} - \sqrt{\frac{7}{8}}) = \frac{2}{3} (1 - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{16}}) =[/m]
[m]= \frac{2}{3} (1 - \frac{\sqrt{14}}{4}) = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{14}}{6} = \frac{4 - \sqrt{14}}{6}[/m]

3) [m]\int \limits_0^1 arctg\ x\ dx = x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \ln |1 + x^2| \bigg |_0^1 =[/m]
[m]= (1 \cdot arctg\ 1 - \frac{1}{2} \ln |1 + 1^2|) - (0 \cdot arctg\ 0 - \frac{1}{2} \ln |1 + 0^2|) =[/m]
[m]= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 - 0 - \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} = \frac{\pi - 2\ln 2}{4} = \frac{\pi - \ln 4}{4}[/m]

Я этот интеграл взял из таблицы готовых интегралов.
На всякий случай решу его по частям. Вдруг с вас потребуют.
[m]\int arctg\ x\ dx = \bigg | u = arctg\ x\,\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{1 + x^2},\ v = x \bigg | =[/m]
[m]= x \cdot arctg\ x - \int \frac{x dx}{1 + x^2} = \bigg | 1 + x^2 = t,\ dt = 2x dx,\ x dx = \frac{1}{2}dt \bigg |=[/m]
[m]= x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \ln |t| = x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \ln |1 + x^2|[/m]

y = x^3, y = 1, x = -2.
График показан на рисунке. Площадь закрашена салатовым цветом.
Точки пересечения двух прямых и кубической параболы:
(-2; -8); (-2; 1); (1; 1).
Чтобы найти площадь, нужно вычислить интеграл на отрезке [-2; 1]
[m]S = \int_{-2}^1 (1 - x^3) dx = x - \frac{x^4}{4} \Big |_{-2}^1 =[/m]
[m]= (1 - \frac{1^4}{4}) - (-2 - \frac{(-2)^4}{4}) = 1 - \frac{1}{4} + 2 + \frac{16}{4} =[/m]
[m]= \frac{3}{4} + 2 + 4 = 6 \frac{3}{4} = 6,75[/m]

Ответ: 6,75

Чтобы найти стоимость 1 литра во всех сортах, нужно в каждом сорте молока разделить стоимость, выраженную в рублях, на объем, выраженный в литрах.
1) 1700 мл = 1,7 л.
98,60/1,7 = 986/17 = 58 руб/л
2) 56,60 руб за 1 л - тут делать ничего не надо, он так 1 л и продается.
3) 310 мл = 0,31 л
18,60/0,31 = 1860/31 = 60 руб/л
4) 750 мл = 0,75 л
40,50/0,75 = 4050/75 = 54 руб/л
5) 1/2 л = 0,5 л
29,50/0,5 = 295/5 = 59 руб/л.

Самое дешевое - 54 руб/л, это 4) молоко: 0,75 л за 40 руб. 50 коп.